Номер 6, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 6, страница 113.

6 Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Для доказательства этого утверждения мы будем использовать основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку: каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов этого отрезка. Также нам понадобится и обратная теорема: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Дано:
Произвольный треугольник $ABC$.
Прямая $m_1$ — серединный перпендикуляр к стороне $AB$.
Прямая $m_2$ — серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
Прямая $m_3$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC$.

Доказать:
Прямые $m_1$, $m_2$ и $m_3$ пересекаются в одной точке.

Доказательство:
Рассмотрим два серединных перпендикуляра $m_1$ и $m_2$. Стороны $AB$ и $BC$ треугольника не параллельны, так как имеют общую вершину $B$. Следовательно, перпендикулярные им прямые $m_1$ и $m_2$ также не параллельны. Из этого следует, что прямые $m_1$ и $m_2$ пересекаются в некоторой точке. Назовем эту точку $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_1$ к стороне $AB$, то по свойству серединного перпендикуляра она равноудалена от вершин $A$ и $B$. То есть, $OA = OB$.

Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_2$ к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$. То есть, $OB = OC$.

Из полученных равенств $OA = OB$ и $OB = OC$ по свойству транзитивности следует, что $OA = OC$.

Равенство $OA = OC$ означает, что точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Согласно теореме, обратной свойству серединного перпендикуляра, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, то есть на прямой $m_3$.

Таким образом, мы показали, что точка пересечения серединных перпендикуляров $m_1$ и $m_2$ также принадлежит и третьему серединному перпендикуляру $m_3$. Это означает, что все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Что и требовалось доказать.

(Примечание: Эта точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, так как она равноудалена от всех трех его вершин: $OA=OB=OC=R$, где $R$ — радиус описанной окружности).

Ответ: Утверждение доказано.