Номер 3, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 3, страница 112.

3 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы двух его углов, например, углов $A$ и $B$. Обозначим их $l_A$ и $l_B$. Так как сумма углов треугольника $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, то сумма двух углов $\angle A + \angle B < 180^\circ$, а значит, сумма их половин $\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B < 90^\circ$. Это означает, что лучи, на которых лежат биссектрисы, не параллельны и пересекаются в некоторой точке внутри треугольника. Обозначим эту точку пересечения как $I$.

Воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Поскольку точка $I$ лежит на биссектрисе $l_A$ угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Обозначим расстояние от точки $I$ до прямой, содержащей сторону $XY$, как $d(I, XY)$. Тогда $d(I, AB) = d(I, AC)$.

Поскольку точка $I$ также лежит на биссектрисе $l_B$ угла $B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. То есть, $d(I, BA) = d(I, BC)$.

Из этих двух равенств получаем, что $d(I, AC) = d(I, AB) = d(I, BC)$. В частности, $d(I, AC) = d(I, BC)$.

Равенство $d(I, AC) = d(I, BC)$ означает, что точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, образующих угол $C$. Согласно теореме, обратной свойству биссектрисы, каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе $l_C$ угла $C$.

Таким образом, точка пересечения биссектрис $l_A$ и $l_B$ принадлежит и третьей биссектрисе $l_C$. Это означает, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $I$. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

Ответ: Утверждение доказано. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.