Номер 1, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 1, страница 112.

1 Что такое геометрическое место точек? Приведите примеры.

Что такое геометрическое место точек?

Геометрическое место точек (сокращенно ГМТ) — это фигура, которая представляет собой множество всех точек плоскости (или пространства), обладающих некоторым заданным свойством.
Определение ГМТ подразумевает выполнение двух обязательных условий:
1. Каждая точка, принадлежащая этой фигуре, должна обладать указанным свойством.
2. Каждая точка плоскости (или пространства), обладающая указанным свойством, должна принадлежать этой фигуре.
Иными словами, никакая точка за пределами этой фигуры не обладает заданным свойством, и ни одна точка фигуры не является исключением.

Ответ: Геометрическое место точек — это совокупность всех точек, которые удовлетворяют одному или нескольким заданным условиям.

Приведите примеры

1. Окружность. Это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром. Если центр окружности — точка $O$, а заданное расстояние (радиус) равно $R$, то любая точка $M$, принадлежащая окружности, удовлетворяет условию $OM = R$.

2. Серединный перпендикуляр к отрезку. Это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (концов отрезка). Для любых двух точек $A$ и $B$ и любой точки $M$, принадлежащей серединному перпендикуляру к отрезку $AB$, выполняется равенство $MA = MB$.

3. Биссектриса угла. Это геометрическое место точек, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон. Для любой точки на биссектрисе расстояние до одной стороны угла равно расстоянию до другой его стороны.

4. Пара параллельных прямых. Это геометрическое место точек плоскости, удаленных на заданное ненулевое расстояние $d$ от данной прямой $a$. Это множество состоит из двух прямых, параллельных $a$ и отстоящих от нее на расстояние $d$ с разных сторон.

5. Парабола. Это геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой).

Ответ: Примерами геометрического места точек являются окружность (ГМТ, равноудаленных от одной точки), серединный перпендикуляр (ГМТ, равноудаленных от двух точек), биссектриса угла (ГМТ внутри угла, равноудаленных от его сторон), пара параллельных прямых (ГМТ, находящихся на заданном расстоянии от прямой) и парабола (ГМТ, равноудаленных от точки-фокуса и прямой-директрисы).