Номер 5, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 5, страница 112.

5 Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Формулировка теоремы

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Эти два утверждения часто объединяют в одно: серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство теоремы

Теорема состоит из двух взаимно обратных утверждений. Докажем каждое из них.

1. Прямая теорема. Докажем, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

Пусть имеется отрезок $AB$ и прямая $p$, которая является серединным перпендикуляром к нему. Пусть прямая $p$ пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. По определению серединного перпендикуляра, $p \perp AB$ и $M$ — середина $AB$, то есть $AM = MB$.

Возьмем на прямой $p$ произвольную точку $K$. Соединим точку $K$ с точками $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle KMA$ и $\triangle KMB$. Они оба являются прямоугольными, так как $KM \perp AB$ (поскольку $K$ и $M$ лежат на прямой $p$).

В этих треугольниках:

• Катет $KM$ — общий.
• Катет $AM$ равен катету $MB$, так как $M$ — середина отрезка $AB$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle KMA$ и $\triangle KMB$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае — гипотенуз: $KA = KB$.

Поскольку точка $K$ была выбрана на серединном перпендикуляре произвольно, мы доказали, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

2. Обратная теорема. Докажем, что любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Пусть точка $K$ такова, что ее расстояния до концов отрезка $AB$ равны, то есть $KA = KB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AKB$. Поскольку две его стороны равны ($KA=KB$), он является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем из вершины $K$ медиану $KM$ к основанию $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является также и высотой. Следовательно, $KM \perp AB$.

Таким образом, прямая, проходящая через точки $K$ и $M$, перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. По определению, эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Следовательно, точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Оба утверждения доказаны. Теорема доказана полностью.

Ответ: Теорема о серединном перпендикуляре утверждает, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов, и наоборот, каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Доказательство основано на признаках равенства треугольников (для прямой теоремы) и свойствах равнобедренного треугольника (для обратной теоремы).