Номер 10, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 10, страница 113.

10 Может ли окружность пересекать прямую более чем в двух точках? Обоснуйте свой ответ.

Нет, окружность не может пересекать прямую более чем в двух точках.

Обоснуем это утверждение методом доказательства от противного.

Предположим, что окружность и прямая имеют три общие точки пересечения: A, B и C. Пусть O — центр этой окружности, а R — ее радиус.

По определению окружности, все ее точки равноудалены от центра. Следовательно, отрезки, соединяющие центр с точками на окружности, равны радиусу:

$OA = OB = OC = R$

Так как по нашему предположению точки A, B и C лежат на одной прямой, рассмотрим их взаимное расположение.

Из равенства $OA = OB$ следует, что точка O равноудалена от концов отрезка AB. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Аналогично, из равенства $OB = OC$ следует, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.

Таким образом, центр окружности O должен одновременно принадлежать двум серединным перпендикулярам — к отрезку AB и к отрезку BC.

Поскольку точки A, B и C различны и лежат на одной прямой, отрезки AB и BC также лежат на этой прямой. Серединные перпендикуляры к двум несовпадающим отрезкам, лежащим на одной прямой, являются двумя различными параллельными прямыми (так как они оба перпендикулярны исходной прямой, но проходят через разные точки — середины отрезков AB и BC).

Мы получили, что центр O должен быть точкой пересечения двух различных параллельных прямых. Но параллельные прямые по определению не пересекаются. Это противоречие.

Следовательно, наше исходное предположение о том, что окружность и прямая могут иметь три общие точки, неверно. Максимальное число точек пересечения окружности и прямой равно двум.

Ответ: Нет, окружность не может пересекать прямую более чем в двух точках.