Страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

6 Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Для доказательства этого утверждения мы будем использовать основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку: каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов этого отрезка. Также нам понадобится и обратная теорема: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Дано:
Произвольный треугольник $ABC$.
Прямая $m_1$ — серединный перпендикуляр к стороне $AB$.
Прямая $m_2$ — серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
Прямая $m_3$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC$.

Доказать:
Прямые $m_1$, $m_2$ и $m_3$ пересекаются в одной точке.

Доказательство:
Рассмотрим два серединных перпендикуляра $m_1$ и $m_2$. Стороны $AB$ и $BC$ треугольника не параллельны, так как имеют общую вершину $B$. Следовательно, перпендикулярные им прямые $m_1$ и $m_2$ также не параллельны. Из этого следует, что прямые $m_1$ и $m_2$ пересекаются в некоторой точке. Назовем эту точку $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_1$ к стороне $AB$, то по свойству серединного перпендикуляра она равноудалена от вершин $A$ и $B$. То есть, $OA = OB$.

Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_2$ к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$. То есть, $OB = OC$.

Из полученных равенств $OA = OB$ и $OB = OC$ по свойству транзитивности следует, что $OA = OC$.

Равенство $OA = OC$ означает, что точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Согласно теореме, обратной свойству серединного перпендикуляра, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, то есть на прямой $m_3$.

Таким образом, мы показали, что точка пересечения серединных перпендикуляров $m_1$ и $m_2$ также принадлежит и третьему серединному перпендикуляру $m_3$. Это означает, что все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Что и требовалось доказать.

(Примечание: Эта точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, так как она равноудалена от всех трех его вершин: $OA=OB=OC=R$, где $R$ — радиус описанной окружности).

Ответ: Утверждение доказано.

7 Что такое окружность с центром О и радиусом r; хорда окружности; диаметр окружности?

Окружность с центром O и радиусом r

Окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $r$ называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии $r$ от точки $O$. Точка $O$ называется центром окружности, а само расстояние $r$ (являющееся положительным числом, $r>0$) — её радиусом. Также радиусом называют любой отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой. Длина такого отрезка равна $r$.
Ответ: Окружность с центром $O$ и радиусом $r$ — это множество всех точек $M$ на плоскости, для которых выполняется равенство $OM = r$.

Хорда окружности

Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две любые точки на этой окружности. Если точки $A$ и $B$ лежат на окружности, то отрезок $AB$ является её хордой.
Ответ: Хорда окружности — это отрезок, соединяющий две её точки.

Диаметр окружности

Диаметром окружности называется хорда, которая проходит через её центр. Диаметр является самой длинной из всех возможных хорд окружности. Длина диаметра, обозначаемая как $d$, в два раза больше длины радиуса $r$. Это можно выразить формулой: $d = 2r$.
Ответ: Диаметр окружности — это хорда, проходящая через её центр. Его длина равна двум радиусам ($d = 2r$).

8 Сформулируйте и докажите свойства диаметра окружности.

Свойства диаметра окружности можно сформулировать в виде нескольких теорем.

Свойство 1: Диаметр является самой длинной хордой окружности.

Доказательство:
Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Диаметр этой окружности $d = 2R$.
Пусть $AB$ — произвольная хорда этой окружности.
1. Если хорда $AB$ является диаметром, то ее длина равна $2R$.
2. Если хорда $AB$ не является диаметром, то точки $A$, $B$ и центр окружности $O$ образуют треугольник $AOB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то есть $OA = OB = R$.
Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для стороны $AB$ имеем:
$AB < OA + OB$
$AB < R + R$
$AB < 2R$
Таким образом, любая хорда, не проходящая через центр окружности, короче диаметра. Следовательно, диаметр — это самая длинная хорда окружности.
Ответ: Диаметр является наибольшей из всех хорд окружности, что и требовалось доказать.

Свойство 2: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Доказательство:
Пусть в окружности с центром $O$ проведен диаметр $MN$, который перпендикулярен хорде $CD$ и пересекает ее в точке $H$. (Случай, когда хорда сама является диаметром, тривиален: они пересекаются в центре и делят друг друга пополам).
Рассмотрим треугольник $COD$. Так как $OC$ и $OD$ являются радиусами окружности, то $OC = OD$. Следовательно, треугольник $COD$ — равнобедренный с основанием $CD$.
Отрезок $OH$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию, так как по условию $MN \perp CD$.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
1. Так как $OH$ — медиана, она делит основание $CD$ пополам: $CH = HD$.
2. Так как $OH$ — биссектриса, она делит угол $\angle COD$ пополам: $\angle COH = \angle DOH$ (или $\angle COM = \angle DOM$).
Центральные углы $\angle COM$ и $\angle DOM$ равны, следовательно, равны и дуги, на которые они опираются: дуга $CM$ = дуга $DM$.
Также рассмотрим смежные с ними углы: $\angle CON = 180^\circ - \angle COM$ и $\angle DON = 180^\circ - \angle DOM$. Так как $\angle COM = \angle DOM$, то и $\angle CON = \angle DON$.
Равенство этих центральных углов означает равенство дуг, на которые они опираются: дуга $CN$ = дуга $DN$.
Таким образом, диаметр $MN$ делит пополам хорду $CD$ и обе стягиваемые ею дуги ($CMD$ и $CND$).
Ответ: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам и саму хорду, и стягиваемые ею дуги, что и требовалось доказать.

Свойство 3 (обратная теорема): Диаметр, делящий хорду (не являющуюся диаметром) пополам, перпендикулярен ей.

Доказательство:
Пусть в окружности с центром $O$ проведен диаметр $MN$, который пересекает хорду $CD$ (не являющуюся диаметром) в точке $H$ и делит ее пополам, то есть $CH = HD$.
Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $C$ и $D$. Получим треугольник $COD$.
В этом треугольнике стороны $OC$ и $OD$ равны как радиусы окружности ($OC = OD = R$). Следовательно, треугольник $COD$ — равнобедренный с основанием $CD$.
Отрезок $OH$ (часть диаметра $MN$) соединяет вершину треугольника $O$ с серединой основания $H$. Таким образом, $OH$ является медианой треугольника $COD$.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой.
Следовательно, $OH \perp CD$. А так как отрезок $OH$ лежит на диаметре $MN$, то и весь диаметр $MN$ перпендикулярен хорде $CD$.
Ответ: Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде, что и требовалось доказать.

9 Объясните, что означает: диаметр окружности виден из точки под прямым углом?

Это выражение описывает определённую геометрическую конфигурацию. Давайте разберём его по частям.

1. Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Обозначим концы этого диаметра как точки $A$ и $B$.

2. Виден из точки — эта фраза означает, что существует некая точка наблюдения, назовем её $C$. Из этой точки мы смотрим на концы диаметра, то есть проводим воображаемые линии (отрезки) от точки $C$ к точкам $A$ и $B$. Получаем отрезки $CA$ и $CB$.

3. Под прямым углом — это ключевая часть утверждения. Она означает, что угол, образованный линиями обзора (отрезками $CA$ и $CB$), равен $90^\circ$. Иначе говоря, угол $\angle ACB$ — прямой.

Таким образом, мы получаем треугольник $\triangle ABC$. В этом треугольнике сторона $AB$ является диаметром исходной окружности, а угол при вершине $C$ равен $90^\circ$.

В геометрии есть фундаментальное свойство окружности, которое напрямую связано с этим выражением: вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда является прямым.

Это означает, что если точка $C$ находится на окружности, для которой $AB$ является диаметром, то угол $\angle ACB$ будет равен $90^\circ$. И наоборот, если угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$, то точка $C$ обязательно лежит на окружности с диаметром $AB$.

Ответ: Выражение «диаметр окружности виден из точки под прямым углом» означает, что если из этой точки провести отрезки к концам диаметра, то угол между этими отрезками составит $90^\circ$. Геометрически это значит, что данная точка наблюдения лежит на этой же окружности.

10 Может ли окружность пересекать прямую более чем в двух точках? Обоснуйте свой ответ.

Нет, окружность не может пересекать прямую более чем в двух точках.

Обоснуем это утверждение методом доказательства от противного.

Предположим, что окружность и прямая имеют три общие точки пересечения: A, B и C. Пусть O — центр этой окружности, а R — ее радиус.

По определению окружности, все ее точки равноудалены от центра. Следовательно, отрезки, соединяющие центр с точками на окружности, равны радиусу:

$OA = OB = OC = R$

Так как по нашему предположению точки A, B и C лежат на одной прямой, рассмотрим их взаимное расположение.

Из равенства $OA = OB$ следует, что точка O равноудалена от концов отрезка AB. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Аналогично, из равенства $OB = OC$ следует, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.

Таким образом, центр окружности O должен одновременно принадлежать двум серединным перпендикулярам — к отрезку AB и к отрезку BC.

Поскольку точки A, B и C различны и лежат на одной прямой, отрезки AB и BC также лежат на этой прямой. Серединные перпендикуляры к двум несовпадающим отрезкам, лежащим на одной прямой, являются двумя различными параллельными прямыми (так как они оба перпендикулярны исходной прямой, но проходят через разные точки — середины отрезков AB и BC).

Мы получили, что центр O должен быть точкой пересечения двух различных параллельных прямых. Но параллельные прямые по определению не пересекаются. Это противоречие.

Следовательно, наше исходное предположение о том, что окружность и прямая могут иметь три общие точки, неверно. Максимальное число точек пересечения окружности и прямой равно двум.

Ответ: Нет, окружность не может пересекать прямую более чем в двух точках.

11 Какая прямая называется секущей по отношению к окружности?

Секущей по отношению к окружности называется прямая, которая имеет с этой окружностью ровно две общие точки. Иными словами, это прямая, которая пересекает окружность в двух различных местах.

Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим все возможные варианты взаимного расположения прямой и окружности на плоскости. Они различаются в зависимости от количества точек пересечения, что, в свою очередь, зависит от расстояния ($d$) от центра окружности до прямой и радиуса окружности ($r$):

1. Прямая не пересекает окружность. У них нет общих точек. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса: $d > r$.
2. Прямая касается окружности. У них есть ровно одна общая точка. Такая прямая называется касательной. В этом случае расстояние от центра до прямой равно радиусу: $d = r$.
3. Прямая пересекает окружность в двух точках. Такая прямая и является секущей. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса: $d < r$.

Важно также отметить, что отрезок секущей, который заключен между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Ответ: Секущей по отношению к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

12 Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания?

Какая прямая называется касательной к окружности?

Прямая называется касательной к окружности, если она лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней ровно одну общую точку.

Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. Пусть $R$ — радиус окружности, а $d$ — расстояние от ее центра до прямой.

• Если расстояние до прямой больше радиуса ($d > R$), то у прямой и окружности нет общих точек.
• Если расстояние до прямой меньше радиуса ($d < R$), то прямая пересекает окружность в двух точках и называется секущей.
• Если расстояние до прямой равно радиусу ($d = R$), то прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая и называется касательной.

Основное свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: Касательной к окружности называется прямая, которая лежит в плоскости окружности и имеет с ней только одну общую точку.

Какая точка называется точкой касания?

Точкой касания называется та единственная общая точка, которая принадлежит одновременно и касательной, и окружности.

Это точка, в которой прямая "касается" окружности. Если из центра окружности провести радиус в точку касания, то этот радиус будет перпендикулярен касательной прямой.

Ответ: Точкой касания называется общая точка касательной и окружности.

13 Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

Формулировка

Теорема о свойстве касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Прямая $a$ касается этой окружности в точке $A$. Необходимо доказать, что прямая $a$ перпендикулярна радиусу $OA$.

Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что радиус $OA$ не перпендикулярен касательной $a$. Это означает, что $OA$ является наклонной, проведенной из точки $O$ к прямой $a$. В таком случае, из точки $O$ можно провести перпендикуляр $OH$ к прямой $a$, где $H$ — точка на прямой $a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAH$. Так как $OH$ — перпендикуляр к прямой $a$, то угол $\angle OHA$ является прямым ($\angle OHA = 90^\circ$), и, следовательно, треугольник $\triangle OAH$ — прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $OH$ является катетом, а отрезок $OA$ — гипотенузой.

Из свойства прямоугольного треугольника известно, что длина любого катета всегда меньше длины гипотенузы. Таким образом, $OH < OA$.

Поскольку точка $A$ является точкой касания, она принадлежит окружности, а значит, длина отрезка $OA$ равна радиусу окружности: $OA = R$.

Подставив это в наше неравенство, получаем: $OH < R$.

Это неравенство означает, что расстояние от центра окружности $O$ до прямой $a$ (равное длине перпендикуляра $OH$) меньше радиуса $R$. Но если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то эта прямая является секущей, то есть пересекает окружность в двух точках.

Это утверждение вступает в противоречие с первоначальным условием, что прямая $a$ является касательной к окружности и, по определению, имеет с ней только одну общую точку — точку $A$.

Следовательно, наше исходное предположение о том, что $OA$ не перпендикулярен $a$, было неверным. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$.

Теорема доказана.

Ответ: Сформулирована и доказана теорема о свойстве касательной. Формулировка: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство: используется метод от противного; предположение о том, что радиус не перпендикулярен касательной, приводит к выводу, что расстояние от центра до прямой меньше радиуса, что противоречит определению касательной. Следовательно, радиус перпендикулярен касательной.

14 Что известно об отрезках касательных к окружности, проведённых из одной точки?

Ключевое свойство отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, заключается в том, что эти отрезки равны между собой. Также существуют и другие важные свойства, связанные с этим построением.

Рассмотрим это свойство более подробно и докажем его.

Доказательство.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, расположенная вне окружности. Из точки $A$ проведём две касательные к окружности. Пусть $B$ и $C$ — это точки касания. Требуется доказать, что $AB = AC$.

Соединим центр окружности $O$ с точкой $A$ и с точками касания $B$ и $C$. В результате образуются два треугольника: $?ABO$ и $?ACO$.

Рассмотрим эти треугольники:
1. Отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности, следовательно, они равны: $OB = OC = r$.
2. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что углы $?ABO$ и $?ACO$ прямые, то есть $?ABO = ?ACO = 90°$.
3. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $?ABO$ и $?ACO$ — прямоугольные. Они равны по гипотенузе (общая сторона $AO$) и катету ($OB = OC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катет $AB$ первого треугольника равен катету $AC$ второго треугольника: $AB = AC$. Что и требовалось доказать.

Следствия из доказательства.

Из того, что $?ABO = ?ACO$, следуют ещё два важных свойства:
1. Прямая $AO$, соединяющая точку $A$ с центром окружности, делит пополам угол между касательными. То есть, $AO$ является биссектрисой угла $?BAC$, а значит $?BAO = ?CAO$.
2. Эта же прямая $AO$ делит пополам угол между радиусами, проведёнными в точки касания. То есть, $AO$ является биссектрисой угла $?BOC$, а значит $?BOA = ?COA$.

Ответ: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны между собой. Кроме того, прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными, а также биссектрисой угла между радиусами, проведёнными в точки касания.

15 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Формулировка теоремы, обратной теореме о свойстве касательной (признак касательной)

Если прямая проходит через точку, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. На окружности лежит точка $A$. Через точку $A$ проведена прямая $a$ так, что радиус $OA$ перпендикулярен прямой $a$ ($OA \perp a$).

Нам нужно доказать, что прямая $a$ является касательной к окружности, то есть имеет с ней только одну общую точку — точку $A$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не является касательной. Это означает, что она имеет с окружностью еще хотя бы одну общую точку, отличную от $A$. Назовем эту точку $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности, то отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OB = r$.

Поскольку $OA = OB$, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

По условию теоремы, прямая $a$ перпендикулярна радиусу $OA$. Это означает, что угол $\angle OAB$ является прямым, то есть $\angle OAB = 90^\circ$.

Так как $\angle OAB = \angle OBA$, то и угол $\angle OBA$ также равен $90^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle OAB$ два угла равны по $90^\circ$. Их сумма составляет $\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника, согласно которой сумма всех трех углов треугольника должна быть равна $180^\circ$. В нашем случае на третий угол $\angle AOB$ остается $0^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Прямая $a$ не может иметь с окружностью второй общей точки $B$. Следовательно, прямая $a$ имеет с окружностью ровно одну общую точку $A$, а значит, является касательной к окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана методом от противного: допущение о существовании второй точки пересечения прямой и окружности приводит к противоречию с теоремой о сумме углов треугольника.

16 Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.

Чтобы провести касательную к окружности через данную точку, лежащую на этой окружности, необходимо воспользоваться её основным свойством: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, которая лежит на этой окружности. Алгоритм построения касательной будет следующим:

1. Провести отрезок, соединяющий центр окружности $O$ с данной точкой $A$. Этот отрезок $OA$ является радиусом окружности.

2. Построить прямую, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную радиусу $OA$. Это можно сделать с помощью чертежного угольника или с помощью циркуля и линейки.

Построенная таким образом прямая будет касательной к окружности в точке $A$. Это следует из того, что любая другая точка на этой прямой будет находиться дальше от центра $O$, чем точка $A$ (по свойству перпендикуляра и наклонных, проведенных из одной точки к прямой). Следовательно, эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку $A$, что соответствует определению касательной.

Ответ: Необходимо соединить данную точку на окружности с ее центром, получив радиус, а затем через эту же точку провести прямую, перпендикулярную данному радиусу. Эта прямая и будет искомой касательной.

17 Какой отрезок (луч) называется касательным к окружности?

Чтобы определить, какой отрезок или луч называется касательным, сначала нужно дать определение касательной прямой к окружности.

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

На основе этого определения, отрезок (или луч) называется касательным к окружности, если он удовлетворяет двум условиям:
1. Он лежит на прямой, которая является касательной к данной окружности.
2. Он содержит точку касания.

Важнейшим свойством касательной является её перпендикулярность радиусу, проведенному в точку касания. Если $O$ — центр окружности, $A$ — точка касания, а прямая $m$ — касательная, проходящая через точку $A$, то радиус $OA$ перпендикулярен касательной $m$. Математически это записывается как $OA \perp m$.

Ответ: Отрезок (или луч) называется касательным к окружности, если он лежит на прямой, имеющей с окружностью ровно одну общую точку (называемую точкой касания), и при этом сам отрезок (или луч) содержит эту точку касания.

18 Что значит: окружность вписана в неразвёрнутый угол? Сколько окружностей можно вписать в данный неразвёрнутый угол? Где находятся их центры?

Что значит: окружность вписана в неразвернутый угол? Окружность считается вписанной в неразвернутый угол, если она полностью лежит внутри этого угла и касается обеих его сторон. Неразвернутый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$. Касание означает, что каждая сторона угла имеет с окружностью ровно одну общую точку (точку касания). Важным свойством является то, что расстояние от центра такой окружности до каждой из сторон угла одинаково и равно радиусу окружности.
Ответ: Окружность вписана в неразвернутый угол, если она лежит внутри угла и касается обеих его сторон.

Сколько окружностей можно вписать в данный неразвернутый угол? В данный неразвернутый угол можно вписать бесконечно много окружностей. Это связано с тем, что для любой точки, расположенной на биссектрисе угла (кроме его вершины), можно построить окружность, касающуюся его сторон. Поскольку биссектриса является лучом и содержит бесконечное количество точек, можно построить и бесконечное количество таких окружностей. Чем дальше от вершины угла по биссектрисе находится центр, тем больше будет радиус соответствующей вписанной окружности.
Ответ: В данный неразвернутый угол можно вписать бесконечное множество окружностей.

Где находятся их центры? Центры всех окружностей, вписанных в неразвернутый угол, лежат на биссектрисе этого угла. Это следует из геометрического свойства: любая точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. Так как центр вписанной окружности по определению находится на одинаковом расстоянии (равном радиусу) от обеих сторон угла, он обязательно должен лежать на биссектрисе. Таким образом, множество всех центров таких окружностей образует луч — биссектрису данного угла (за исключением самой вершины угла).
Ответ: Центры всех окружностей, которые можно вписать в данный неразвернутый угол, находятся на биссектрисе этого угла.

19 Какая окружность называется вписанной в треугольник? Какой треугольник называется описанным около окружности?

Какая окружность называется вписанной в треугольник?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трёх его сторон. Это означает, что каждая сторона треугольника является касательной к окружности, а сама окружность целиком лежит внутри треугольника.

Центр вписанной окружности, называемый инцентром, — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Этот центр равноудалён от всех сторон треугольника, и это расстояние является радиусом вписанной окружности. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Ответ: Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трёх его сторон.

Какой треугольник называется описанным около окружности?

Треугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Иными словами, если окружность является вписанной в этот треугольник.

Эти два определения описывают одно и то же взаимное расположение треугольника и окружности, но с разных точек зрения. Если окружность вписана в треугольник, то этот треугольник описан около данной окружности. Любой треугольник является описанным около своей вписанной окружности.

Ответ: Треугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

20 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Формулировка теоремы: В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Доказательство:

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования и доказательство единственности.

1. Существование.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы двух его углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. Они пересекаются в некоторой точке $O$, так как не могут быть параллельными (сумма углов, которые они образуют со стороной $AB$, меньше $180^\circ$).

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от его сторон $AB$ и $AC$. Опустим перпендикуляры из точки $O$ на стороны треугольника: $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AB$. Тогда $OK = OM$.
Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от его сторон $BA$ и $BC$. Тогда $OM = OL$.

Из полученных равенств следует, что $OK = OM = OL$. Обозначим эту общую длину за $r$.

Так как точка $O$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$ (поскольку $OK=OL$), она также лежит на биссектрисе угла $C$. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Теперь построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OK = OL = OM$. Эта окружность проходит через точки $K, L, M$. Поскольку отрезки $OK, OL, OM$ являются перпендикулярами к сторонам треугольника, то стороны $AC, BC, AB$ являются касательными к этой окружности в точках $K, L, M$ соответственно.
По определению, окружность, касающаяся всех сторон треугольника, является вписанной в этот треугольник. Следовательно, вписанная окружность существует.

2. Единственность.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность. Тогда ее центр должен быть равноудален от всех трех сторон треугольника. Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (сторон угла), есть биссектриса этого угла. Следовательно, центр любой вписанной окружности должен лежать на пересечении всех трех биссектрис. Но, как мы доказали, биссектрисы пересекаются только в одной точке $O$. Радиус такой окружности также определен однозначно — он равен расстоянию от точки $O$ до сторон треугольника.
Таким образом, существует только одна точка, которая может быть центром вписанной окружности, и только один возможный радиус. Следовательно, вписанная в треугольник окружность единственна.
Теорема доказана.

Ответ: В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центром которой является точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Как следует из доказанной выше теоремы о вписанной окружности, в любой данный треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Единственность следует из того, что центр вписанной окружности должен быть равноудален от всех трех сторон, а этому условию удовлетворяет только одна точка — точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр).

Ответ: В данный треугольник можно вписать только одну окружность.

21 Какая окружность называется описанной около треугольника? Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Какая окружность называется описанной около треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. Центр такой окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.
Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:
— для остроугольного треугольника центр лежит внутри треугольника;
— для прямоугольного треугольника центр лежит на середине гипотенузы;
— для тупоугольного треугольника центр лежит вне треугольника.
Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Радиус описанной окружности $R$ можно найти, например, по формуле, связывающей его со сторонами треугольника $a, b, c$ и его площадью $S$: $R = \frac{abc}{4S}$. Также радиус можно найти из расширенной теоремы синусов: $2R = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — углы, противолежащие соответствующим сторонам.
Ответ: Окружность, проходящая через все три вершины треугольника.

Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
Это определение является обратным по отношению к определению описанной окружности. Если некоторая окружность описана около треугольника, то этот треугольник, в свою очередь, является вписанным в данную окружность.
Стороны вписанного треугольника являются хордами окружности. Поскольку около любого треугольника можно описать единственную окружность, то и любой треугольник можно вписать в единственную для него окружность.
Ответ: Треугольник, все вершины которого лежат на окружности.

22 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника.

Формулировка теоремы: Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности такой окружности.

1. Существование.
Докажем, что существует точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Эта точка и будет являться центром описанной окружности. Проведем серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$ и серединный перпендикуляр $n$ к стороне $BC$.

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Следовательно, для любой точки на прямой $m$ выполняется равенство расстояний до вершин $A$ и $B$. Аналогично, для любой точки на прямой $n$ выполняется равенство расстояний до вершин $B$ и $C$.

Прямые, на которых лежат стороны $AB$ и $BC$, пересекаются в точке $B$ и не являются параллельными. Следовательно, и перпендикулярные им прямые $m$ и $n$ также не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой единственной точке. Обозначим эту точку $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m$, то она равноудалена от вершин $A$ и $B$, то есть $OA = OB$. Поскольку точка $O$ также лежит на серединном перпендикуляре $n$, то она равноудалена от вершин $B$ и $C$, то есть $OB = OC$.

Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$. Так как $OA = OC$, точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$, а значит, она лежит и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка равноудалена от всех трех вершин треугольника. Следовательно, окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB = OC$ проходит через все три вершины $A, B, C$. Эта окружность и является описанной около треугольника $ABC$. Существование доказано.

2. Единственность.
Докажем, что такая окружность может быть только одна. Предположим, что существует другая окружность, описанная около того же треугольника $ABC$. Пусть ее центр находится в точке $O'$, а радиус равен $R'$.

По определению, эта окружность также должна проходить через все три вершины треугольника, а значит, центр $O'$ должен быть равноудален от них: $O'A = O'B = O'C = R'$.

Из равенства $O'A = O'B$ следует, что точка $O'$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Из равенства $O'B = O'C$ следует, что точка $O'$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Следовательно, точка $O'$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$.

Как мы установили ранее, эти два серединных перпендикуляра пересекаются в единственной точке $O$. Значит, точка $O'$ должна совпадать с точкой $O$. Поскольку центры окружностей совпадают ($O' = O$), то и их радиусы равны ($R' = O'A = OA = R$). Так как центр и радиус окружности определены однозначно, то и сама описанная окружность единственна.

Ответ: Теорема гласит, что около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Ее центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Исходя из доказательства теоремы об описанной окружности, в частности из доказательства ее единственности, следует, что для любого треугольника существует только одна такая окружность. Ее центр однозначно определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров, а радиус — как расстояние от этого центра до любой из вершин треугольника. Поскольку эти элементы (центр и радиус) уникальны для каждого треугольника, то и сама окружность уникальна.

Ответ: Около данного треугольника можно описать только одну окружность.

23 Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?

Две точки, назовем их $A$ и $A'$, называются симметричными относительно данной прямой $l$ (также называемой осью симметрии), если эта прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.

Это определение означает, что для того, чтобы точки $A$ и $A'$ были симметричны относительно прямой $l$, должны одновременно выполняться два ключевых условия:

1. Отрезок, соединяющий эти две точки ($AA'$), должен быть перпендикулярен прямой $l$. Математически это записывается как $AA' \perp l$.
2. Прямая $l$ должна проходить через середину отрезка $AA'$. Это значит, что точка пересечения прямой $l$ с отрезком $AA'$ (назовем ее $O$) делит этот отрезок на два равных отрезка: $AO = OA'$. Следовательно, точки $A$ и $A'$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$.

Частным случаем является точка, лежащая на самой прямой симметрии. Любая точка, принадлежащая прямой $l$, считается симметричной самой себе относительно этой прямой.

Проще говоря, если "сложить" плоскость по прямой $l$, то симметричные точки $A$ и $A'$ совпадут.

Ответ: Две точки называются симметричными относительно данной прямой, если эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину.

24 Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

Фигура называется симметричной относительно данной прямой, если эта прямая является её осью симметрии. Это означает, что для каждой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка относительно этой прямой также принадлежит данной фигуре.

Рассмотрим это определение более подробно.

Пусть дана некоторая фигура $F$ и прямая $a$. Фигура $F$ будет симметричной относительно прямой $a$, если выполняется следующее условие: для любой точки $M$, принадлежащей фигуре $F$, точка $M'$, которая симметрична точке $M$ относительно прямой $a$, также должна принадлежать фигуре $F$.

Напомним, что две точки $M$ и $M'$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая $a$ перпендикулярна отрезку $MM'$ и проходит через его середину. Если точка $M$ лежит на прямой $a$, то она считается симметричной самой себе.

Иными словами, прямая $a$ является осью симметрии фигуры, если она делит фигуру на две части, которые являются зеркальным отражением друг друга. Если мысленно согнуть плоскость по этой прямой, то обе части фигуры полностью совпадут.

Примеры фигур, обладающих осевой симметрией:

• Отрезок: имеет две оси симметрии (прямая, содержащая отрезок, и серединный перпендикуляр к нему).
• Равнобедренный треугольник: имеет одну ось симметрии (прямая, содержащая высоту, опущенную на основание).
• Прямоугольник: имеет две оси симметрии (прямые, проходящие через середины противоположных сторон).
• Круг: имеет бесконечное множество осей симметрии (любая прямая, проходящая через его центр).

Ответ: Фигура называется симметричной относительно данной прямой, если для каждой точки этой фигуры точка, симметричная ей относительно данной прямой, также принадлежит этой фигуре.

25 Какие две фигуры называются симметричными относительно данной прямой?

Две фигуры, назовем их $F_1$ и $F_2$, называются симметричными относительно данной прямой $a$, если при преобразовании симметрии относительно этой прямой одна фигура переходит в другую. Прямая $a$ в таком случае называется осью симметрии.

Это означает, что для каждой точки $M$ фигуры $F_1$ существует симметричная ей точка $M'$ в фигуре $F_2$, и наоборот, для каждой точки фигуры $F_2$ существует симметричная ей точка в фигуре $F_1$.

Понятие симметрии фигур основывается на симметрии точек. Две точки $M$ и $M'$ называются симметричными относительно прямой $a$, если выполняются два условия:
1. Отрезок $MM'$, соединяющий эти точки, перпендикулярен прямой $a$. Это можно записать как $MM' \perp a$.
2. Середина отрезка $MM'$ лежит на прямой $a$. Это равносильно тому, что расстояния от точек $M$ и $M'$ до прямой $a$ равны.

Если какая-либо точка фигуры лежит непосредственно на оси симметрии $a$, то она считается симметричной самой себе. Таким образом, симметричные фигуры являются точным "зеркальным отражением" друг друга относительно прямой.

Ответ: Две фигуры называются симметричными относительно данной прямой, если каждая точка одной фигуры является симметричной некоторой точке другой фигуры относительно этой прямой, и наоборот.

26 Как построить точку, симметричную данной, относительно заданной оси симметрии?

Для построения точки, симметричной данной точке $A$ относительно заданной оси симметрии $l$, необходимо понимать, что такая точка (назовем ее $A'$) должна удовлетворять двум условиям:
1. Прямая, проходящая через точки $A$ и $A'$, должна быть перпендикулярна оси симметрии $l$.
2. Расстояние от точки $A$ до оси $l$ должно быть равно расстоянию от точки $A'$ до оси $l$.
Другими словами, ось симметрии $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.

Алгоритм построения зависит от того, где расположена исходная точка.

Если данная точка A лежит на оси симметрии l

В этом случае точка симметрична самой себе. Это означает, что искомая точка $A'$ совпадает с точкой $A$. Никаких построений выполнять не требуется.

Если данная точка A не лежит на оси симметрии l

Построение симметричной точки $A'$ выполняется с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:

1. Установите острие циркуля в точку $A$ и начертите дугу (или окружность) такого радиуса, чтобы она пересекла ось симметрии $l$ в двух разных точках. Назовем эти точки $P_1$ и $P_2$.
2. Теперь установите острие циркуля в точку $P_1$ и начертите дугу с противоположной стороны от оси $l$ (относительно точки $A$). Радиус этой дуги должен быть равен длине отрезка $AP_1$.
3. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $P_2$ и начертите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую (построенную в шаге 2).
4. Точка пересечения этих двух дуг и есть искомая точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно оси $l$.

Этот метод работает, потому что мы строим две равнобедренные треугольника $\triangle AP_1P_2$ и $\triangle A'P_1P_2$ с общим основанием $P_1P_2$. Так как $AP_1 = A'P_1$ и $AP_2 = A'P_2$, то прямая $P_1P_2$ (то есть ось $l$) является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$, что соответствует определению осевой симметрии.

Ответ:
Чтобы построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно оси $l$, нужно выполнить следующее:
1. Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то $A'$ совпадает с $A$.
2. Если точка $A$ не лежит на прямой $l$, нужно из точки $A$ провести дугу, пересекающую прямую $l$ в точках $P_1$ и $P_2$. Затем из точек $P_1$ и $P_2$ провести две дуги радиусом $AP_1$ с другой стороны от прямой $l$. Точка их пересечения и будет искомой точкой $A'$.