Страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

427 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольник $ABC$, в котором из вершины $A$ к стороне $BC$ проведена медиана $AM$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$. Нам нужно установить связь между типом угла $\angle BAC$ (острый, прямой или тупой) и соотношением длины медианы $AM$ к половине длины стороны $BC$.

Доказательство разобьем на три случая, соответствующих условию задачи.

Доказательство того, что угол является острым, если медиана больше половины противоположной стороны

Пусть медиана $AM$ больше половины стороны $BC$, то есть $AM > \frac{1}{2}BC$. Так как $BM = MC = \frac{1}{2}BC$, то из этого следует, что $AM > BM$ и $AM > MC$.

Рассмотрим два треугольника, на которые медиана $AM$ делит треугольник $ABC$: $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$. Воспользуемся свойством, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике $\triangle AMB$, так как сторона $AM > BM$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle B$), больше угла, лежащего напротив стороны $BM$ (угол $\angle BAM$). Таким образом, получаем неравенство: $\angle B > \angle BAM$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle AMC$, так как сторона $AM > MC$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle C$), больше угла, лежащего напротив стороны $MC$ (угол $\angle CAM$). Таким образом, получаем неравенство: $\angle C > \angle CAM$.

Сложив эти два неравенства, получим: $\angle B + \angle C > \angle BAM + \angle CAM$.

Сумма углов $\angle BAM + \angle CAM$ равна углу $\angle BAC$. Следовательно, $\angle B + \angle C > \angle BAC$.

В любом треугольнике сумма углов равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle ABC$ верно: $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC$.

Подставим это выражение в полученное нами неравенство: $180^\circ - \angle BAC > \angle BAC$.

Решая это неравенство, находим: $180^\circ > 2 \cdot \angle BAC$, или $\angle BAC < 90^\circ$.

Это означает, что угол $\angle BAC$ является острым, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол является острым, если медиана, проведённая из его вершины, больше половины противоположной стороны.

Доказательство того, что угол является прямым, если медиана равна половине противоположной стороны

Пусть медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, то есть $AM = \frac{1}{2}BC$. Это означает, что $AM = BM = MC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $AM = BM$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle B = \angle BAM$.

Аналогично, треугольник $\triangle AMC$ также является равнобедренным, так как $AM = MC$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle C = \angle CAM$.

Сложим полученные равенства: $\angle B + \angle C = \angle BAM + \angle CAM$.

Правая часть этого равенства есть угол $\angle BAC$, поэтому $\angle B + \angle C = \angle BAC$.

Подставим это соотношение в формулу суммы углов треугольника $ABC$ ($\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$):

$\angle BAC + \angle BAC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ$

$\angle BAC = 90^\circ$

Таким образом, угол $\angle BAC$ является прямым, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол является прямым, если медиана, проведённая из его вершины, равна половине противоположной стороны.

Доказательство того, что угол является тупым, если медиана меньше половины противоположной стороны

Пусть медиана $AM$ меньше половины стороны $BC$, то есть $AM < \frac{1}{2}BC$. Это означает, что $AM < BM$ и $AM < MC$.

В треугольнике $\triangle AMB$, так как сторона $AM < BM$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle B$), меньше угла, лежащего напротив стороны $BM$ (угол $\angle BAM$). Таким образом, $\angle B < \angle BAM$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle AMC$, так как сторона $AM < MC$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle C$), меньше угла, лежащего напротив стороны $MC$ (угол $\angle CAM$). Таким образом, $\angle C < \angle CAM$.

Сложив эти два неравенства, получаем: $\angle B + \angle C < \angle BAM + \angle CAM$.

Это означает, что $\angle B + \angle C < \angle BAC$.

Подставим в это неравенство выражение для суммы углов $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC$:

$180^\circ - \angle BAC < \angle BAC$

Решая неравенство, находим: $180^\circ < 2 \cdot \angle BAC$, или $\angle BAC > 90^\circ$.

Это означает, что угол $\angle BAC$ является тупым, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол является тупым, если медиана, проведённая из его вершины, меньше половины противоположной стороны.

428 Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята такая точка М, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC = 80°.

Для начала найдем углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а углы при основании $BC$ равны ($\angle ABC = \angle ACB$), то каждый из них равен:$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$.

Теперь, зная углы треугольника $ABC$ и углы, связанные с точкой $M$, мы можем найти другие углы в фигуре.Найдем угол $\angle ABM$:$\angle ABM = \angle ABC - \angle MBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$.Найдем угол $\angle ACM$:$\angle ACM = \angle ACB - \angle MCB = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Найдем в нем угол $\angle BMC$:$\angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - (30^\circ + 10^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Чтобы найти искомый угол $\angle AMC$, мы можем доказать, что треугольник $AMC$ является равнобедренным. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольников $ABC$ и $BMC$.Из теоремы синусов для $\triangle ABC$:$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \implies \frac{AC}{\sin(50^\circ)} = \frac{BC}{\sin(80^\circ)}$Отсюда $AC = BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$.

Из теоремы синусов для $\triangle BMC$:$\frac{MC}{\sin(\angle MBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} \implies \frac{MC}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(140^\circ)}$Отсюда $MC = BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)}$.

Теперь сравним выражения для $AC$ и $MC$. Для этого преобразуем их, используя тригонометрические тождества $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$ и формулу двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.$AC = BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)} = BC \cdot \frac{\cos(40^\circ)}{\sin(2 \cdot 40^\circ)} = BC \cdot \frac{\cos(40^\circ)}{2\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)} = BC \cdot \frac{1}{2\sin(40^\circ)}$.$MC = BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)} = BC \cdot \frac{0.5}{\sin(180^\circ-40^\circ)} = BC \cdot \frac{0.5}{\sin(40^\circ)} = BC \cdot \frac{1}{2\sin(40^\circ)}$.Мы получили, что $AC = MC$.

Так как $AC = MC$, то треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MAC = \angle AMC$. Угол при вершине $C$ этого треугольника, $\angle ACM$, равен $40^\circ$. Сумма углов в треугольнике $AMC$ равна $180^\circ$, поэтому:$\angle AMC + \angle MAC + \angle ACM = 180^\circ$$2 \cdot \angle AMC + 40^\circ = 180^\circ$$2 \cdot \angle AMC = 140^\circ$$\angle AMC = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

429 Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $a$, $b$ и $c$ соответственно. Пусть $c_{max}$ — длина наибольшей из сторон, то есть $c_{max} = \max(a, b, c)$.

Рассмотрим произвольный отрезок $MN$, концы которого лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Нам нужно доказать, что длина отрезка $MN$ не превышает $c_{max}$, то есть $MN \le c_{max}$.

Поскольку концы отрезка $MN$ лежат на разных сторонах, они могут лежать на сторонах, имеющих общую вершину. В треугольнике любые две различные стороны имеют общую вершину. Без ограничения общности, пусть конец $M$ отрезка $MN$ лежит на стороне $AB$, а конец $N$ — на стороне $AC$. Стороны $AB$ и $AC$ имеют общую вершину $A$. Рассмотрение других пар сторон (например, $AB$ и $BC$, или $AC$ и $BC$) будет полностью аналогичным.

Зафиксируем положение точки $M$ на стороне $AB$. Теперь найдем, при каком положении точки $N$ на стороне $AC$ длина отрезка $MN$ будет максимальной. Расстояние от фиксированной точки ($M$) до точки, движущейся по отрезку ($AC$), является выпуклой функцией. Своего максимума на отрезке такая функция достигает на одном из его концов. В нашем случае концами отрезка $AC$ являются вершины $A$ и $C$.

Следовательно, для любого фиксированного положения точки $M$ на стороне $AB$, максимальная длина отрезка $MN$ (где $N \in AC$) будет равна наибольшему из двух значений: $MA$ или $MC$. Таким образом, для любых точек $M \in AB$ и $N \in AC$ справедливо неравенство: $$MN \le \max(MA, MC)$$

Теперь нам нужно найти максимальное значение величины $\max(MA, MC)$, когда точка $M$ перемещается по всей стороне $AB$. Это максимальное значение будет равно $\max(\max_{M \in AB} MA, \max_{M \in AB} MC)$.

1. Найдем максимум длины $MA$ при $M \in AB$. Расстояние от точки $A$ до точки $M$ на отрезке $AB$ максимально, когда $M$ совпадает с другим концом отрезка, то есть с точкой $B$. Таким образом, $\max_{M \in AB} MA = AB = c$.

2. Найдем максимум длины $MC$ при $M \in AB$. Аналогично, расстояние от точки $C$ до точки $M$, движущейся по отрезку $AB$, достигает своего максимума на одном из концов этого отрезка, то есть в точке $A$ или $B$. Таким образом, $\max_{M \in AB} MC = \max(CA, CB) = \max(b, a)$.

Объединяя эти результаты, мы находим максимально возможную длину для отрезка $MN$: $$\max_{M \in AB, N \in AC} MN = \max(\max_{M \in AB} MA, \max_{M \in AB} MC) = \max(c, \max(b, a)) = \max(a, b, c) = c_{max}$$

Это означает, что длина любого отрезка с концами на сторонах $AB$ и $AC$ не может быть больше длины наибольшей стороны треугольника $ABC$. Так как наш выбор пары сторон был произвольным, это утверждение справедливо для любой пары различных сторон.

Таким образом, мы доказали, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Длина любого отрезка с концами на разных сторонах треугольника не превышает длины наибольшей из сторон этого треугольника.

430 Отрезок ВВ₁ — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что ВА > В₁A и BС > В₁С.

Задача состоит в доказательстве двух неравенств. Докажем каждое из них по отдельности.

$BA > B_1A$

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Чтобы доказать, что сторона $BA$ больше стороны $B_1A$, нам необходимо доказать, что угол, лежащий напротив стороны $BA$, больше угла, лежащего напротив стороны $B_1A$.

В треугольнике $ABB_1$ стороне $BA$ противолежит угол $\angle BB_1A$. Стороне $B_1A$ противолежит угол $\angle ABB_1$. Таким образом, нам нужно доказать, что $\angle BB_1A > \angle ABB_1$.

Угол $\angle BB_1A$ является внешним для треугольника $B_1BC$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BB_1A = \angle CBB_1 + \angle BCB_1 = \angle CBB_1 + \angle C$.

По условию, отрезок $BB_1$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, а это значит, что он делит угол пополам:

$\angle ABB_1 = \angle CBB_1$.

Подставим $\angle ABB_1$ вместо равного ему $\angle CBB_1$ в формулу для внешнего угла:

$\angle BB_1A = \angle ABB_1 + \angle C$.

Поскольку $\angle C$ является углом треугольника $ABC$, его градусная мера положительна ($\angle C > 0$). Следовательно, сумма $\angle ABB_1 + \angle C$ строго больше, чем слагаемое $\angle ABB_1$.

Отсюда получаем, что $\angle BB_1A > \angle ABB_1$.

Так как в треугольнике $ABB_1$ против большего угла $\angle BB_1A$ лежит большая сторона $BA$, мы заключаем, что $BA > B_1A$.

Ответ: Неравенство $BA > B_1A$ доказано.

$BC > B_1C$

Теперь рассмотрим треугольник $CBB_1$. По той же теореме о соотношении сторон и углов треугольника, для доказательства неравенства $BC > B_1C$ нам нужно доказать, что угол напротив стороны $BC$ больше угла напротив стороны $B_1C$.

В треугольнике $CBB_1$ стороне $BC$ противолежит угол $\angle BB_1C$. Стороне $B_1C$ противолежит угол $\angle CBB_1$. Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $\angle BB_1C > \angle CBB_1$.

Угол $\angle BB_1C$ является внешним для треугольника $ABB_1$. Его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника $ABB_1$, не смежных с ним:

$\angle BB_1C = \angle BAB_1 + \angle ABB_1 = \angle A + \angle ABB_1$.

Из того, что $BB_1$ — биссектриса, мы знаем, что $\angle ABB_1 = \angle CBB_1$.

Подставим это в выражение для внешнего угла, чтобы связать его с углом $\angle CBB_1$:

$\angle BB_1C = \angle A + \angle CBB_1$.

Поскольку $\angle A$ является углом треугольника $ABC$, его градусная мера положительна ($\angle A > 0$). Следовательно, сумма $\angle A + \angle CBB_1$ строго больше, чем слагаемое $\angle CBB_1$.

Отсюда получаем, что $\angle BB_1C > \angle CBB_1$.

Так как в треугольнике $CBB_1$ против большего угла $\angle BB_1C$ лежит большая сторона $BC$, мы заключаем, что $BC > B_1C$.

Ответ: Неравенство $BC > B_1C$ доказано.

431 Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что AD = AB. Докажите, что АС > AB.

Для доказательства утверждения $AC > AB$ в треугольнике $ABC$ достаточно доказать, что противолежащий стороне $AC$ угол $\angle ABC$ больше противолежащего стороне $AB$ угла $\angle ACB$.

Продолжим отрезок $AD$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $E$. Так как точка $D$ лежит внутри треугольника, точка $E$ будет находиться между $B$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Точка $D$ лежит на отрезке $AE$, поэтому длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$, то есть $AE = AD + DE$. Отсюда следует, что $AE > AD$. По условию задачи дано, что $AD = AB$. Следовательно, $AE > AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому в треугольнике $ABE$ угол, лежащий напротив стороны $AE$ (то есть $\angle ABE$), больше угла, лежащего напротив стороны $AB$ (то есть $\angle AEB$). Учитывая, что $\angle ABE$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$, получаем:

$\angle ABC > \angle AEB$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $AEC$. Угол $\angle AEB$ является для него внешним углом при вершине $E$ (так как он смежен с внутренним углом $\angle AEC$ и образован стороной $AE$ и продолжением стороны $CE$). Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. В частности, $\angle AEB > \angle ACE$. Угол $\angle ACE$ — это тот же угол, что и $\angle ACB$. Таким образом:

$\angle AEB > \angle ACB$ (2)

Объединяя неравенства (1) и (2), получаем следующую цепочку неравенств: $\angle ABC > \angle AEB$ и $\angle AEB > \angle ACB$. Из этого следует, что $\angle ABC > \angle ACB$.

Так как в треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ больше угла при вершине $C$, то и сторона, лежащая напротив большего угла, больше стороны, лежащей напротив меньшего угла. Следовательно, $AC > AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку в треугольнике $ABC$ выполняется неравенство для углов $\angle ABC > \angle ACB$, для противолежащих им сторон также выполняется неравенство $AC > AB$.

432 В треугольнике ABC сторона AB больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB > ∠ADC и BD > CD.

Дано: в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $AC$. Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$.

Требуется доказать два утверждения: 1) $\angle ADB > \angle ADC$ и 2) $BD > CD$.

Доказательство, что $\angle ADB > \angle ADC$

Рассмотрим треугольник $ACD$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $$ \angle ADB = \angle C + \angle CAD $$

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Угол $\angle ADC$ является для него внешним углом. Следовательно: $$ \angle ADC = \angle B + \angle BAD $$

По условию задачи, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$, из чего следует, что $\angle CAD = \angle BAD$.

Также по условию $AB > AC$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABC$ стороне $AB$ противолежит угол $\angle C$, а стороне $AC$ противолежит угол $\angle B$. Таким образом, из неравенства $AB > AC$ следует неравенство $\angle C > \angle B$.

Теперь сравним выражения для углов $\angle ADB$ и $\angle ADC$. Мы имеем $\angle C > \angle B$ и $\angle CAD = \angle BAD$. Если к большему значению ($\angle C$) прибавить то же значение, что и к меньшему ($\angle B$), результат также будет больше. Следовательно, $\angle C + \angle CAD > \angle B + \angle BAD$, что означает $\angle ADB > \angle ADC$.
Ответ: что и требовалось доказать.

Доказательство, что $BD > CD$

Для доказательства этого неравенства воспользуемся свойством биссектрисы треугольника (также известным как теорема о биссектрисе). Оно гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. $$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $$ (Данное свойство можно доказать с помощью теоремы синусов. Для $\triangle ABD$: $\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$. Для $\triangle ACD$: $\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$. Учитывая, что $\angle BAD = \angle CAD$ и $\sin(\angle ADB) = \sin(\angle ADC)$ как синусы смежных углов, при делении первого уравнения на второе получается искомое соотношение).

По условию задачи нам дано, что $AB > AC$. Это означает, что отношение длин этих сторон $\frac{AB}{AC} > 1$.

Так как $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$ и $\frac{AB}{AC} > 1$, то и $\frac{BD}{CD} > 1$. Умножив обе части этого неравенства на $CD$ (длина отрезка всегда положительна), мы получаем искомое неравенство $BD > CD$.
Ответ: что и требовалось доказать.

433 Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

Дано:
В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$ является одновременно биссектрисой угла $\angle B$ и медианой, проведенной к стороне $AC$. Это означает, что:
1) $\angle ABD = \angle CBD$ (по свойству биссектрисы).
2) $AD = DC$ (по свойству медианы).

Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть $AB = BC$.

Доказательство:

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $BD$ за точку $D$ отложим отрезок $DE$, равный отрезку $BD$. Соединим точку $E$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CED$. В этих треугольниках:
- $AD = CD$ (по условию, так как $BD$ — медиана).
- $BD = ED$ (по построению).
- $\angle ADB = \angle CDE$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CED$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства $\triangle ABD \cong \triangle CED$ следует равенство их соответственных элементов:

1) $AB = CE$.
2) $\angle ABD = \angle CED$.

По условию задачи $BD$ является биссектрисой, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$.

Из равенств $\angle ABD = \angle CED$ и $\angle ABD = \angle CBD$ следует, что $\angle CBD = \angle CED$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCE$. Так как в нем два угла равны ($\angle CBE = \angle CEB$), то по признаку равнобедренного треугольника он является равнобедренным. Это означает, что стороны, лежащие против равных углов, равны, то есть $BC = CE$.

Мы получили, что $AB = CE$ и $BC = CE$. Следовательно, $AB = BC$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана.

434 Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AB$ и $AC$ не равны. Без ограничения общности, предположим, что сторона $AC$ меньше стороны $AB$, то есть $AC < AB$. Пусть $AM$ — медиана, проведённая из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, следовательно, $BM = CM$.

Требуется доказать, что угол, образованный медианой $AM$ и меньшей стороной $AC$ (угол $\angle CAM$), больше угла, образованного медианой $AM$ и большей стороной $AB$ (угол $\angle BAM$). То есть, мы доказываем неравенство $\angle CAM > \angle BAM$.

Для доказательства воспользуемся методом дополнительного построения. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на её длину до точки $D$ так, что $AM = MD$. Затем соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$. В результате этого построения получим четырёхугольник $ABDC$.

Рассмотрим диагонали $AD$ и $BC$ полученного четырёхугольника $ABDC$. Они пересекаются в точке $M$. По построению мы имеем $AM = MD$, а по определению медианы — $BM = CM$. Таким образом, диагонали четырёхугольника $ABDC$ в точке их пересечения делятся пополам.

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — это параллелограмм.

Из свойств параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны и параллельны. Отсюда следует, что $CD = AB$ и $AB \parallel CD$.

Теперь переключим внимание на треугольник $ACD$. Его стороны — это $AC$, $CD$ и $AD$. Наша задача — сравнить углы $\angle CAM$ и $\angle BAM$. Угол $\angle CAM$ является углом $\angle CAD$ в треугольнике $ACD$.

Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $AD$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle BAM = \angle CDA$.

Таким образом, сравнение углов $\angle CAM$ и $\angle BAM$ эквивалентно сравнению углов $\angle CAD$ и $\angle CDA$ внутри треугольника $ACD$.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Сравним стороны в треугольнике $ACD$, которые лежат напротив углов $\angle CAD$ и $\angle CDA$.

• Против угла $\angle CAD$ лежит сторона $CD$.
• Против угла $\angle CDA$ лежит сторона $AC$.

По нашему первоначальному предположению, $AC < AB$. А так как из свойств параллелограмма мы получили $CD = AB$, то справедливо неравенство $AC < CD$.

Так как в треугольнике $ACD$ сторона $AC$ меньше стороны $CD$, то и угол, лежащий против стороны $AC$, меньше угла, лежащего против стороны $CD$. Это означает, что $\angle CDA < \angle CAD$.

Подставляя обратно исходные обозначения углов ($\angle CDA = \angle BAM$ и $\angle CAD = \angle CAM$), получаем требуемое неравенство:

$\angle BAM < \angle CAM$.

Это доказывает, что медиана, проведённая из общей вершины двух неравных сторон, образует с меньшей из сторон больший угол.

Ответ: Утверждение доказано. Медиана, проведённая из общей вершины двух неравных сторон треугольника, составляет с меньшей из этих сторон больший угол.

435 В треугольнике ABC стороны AB и АС не равны, отрезок AM соединяет вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что треугольники $AMB$ и $AMC$ равны, то есть $\triangle AMB = \triangle AMC$.

Из определения равных треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. В треугольниках $AMB$ и $AMC$ есть три пары сторон:

• Сторона $AB$ и сторона $AC$.
• Сторона $BM$ и сторона $CM$.
• Сторона $AM$, которая является общей для обоих треугольников.

Если $\triangle AMB = \triangle AMC$, то их соответствующие стороны должны быть равны. В частности, должно выполняться равенство для пары соответствующих сторон $AB$ и $AC$:

$AB = AC$

Однако это заключение прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что стороны $AB$ и $AC$ не равны ($AB \neq AC$).

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что треугольники $AMB$ и $AMC$ равны, является ложным. Таким образом, эти треугольники не могут быть равны.

Ответ: Доказано, что треугольники $AMB$ и $AMC$ не равны друг другу.

436 Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC.

Обозначим периметры треугольников $BCH$ и $ABC$ как $P_{BCH}$ и $P_{ABC}$ соответственно. Нам нужно доказать, что $P_{BCH} > P_{ABC}$.

$P_{BCH} = BC + CH + BH$

$P_{ABC} = BC + AC + AB$

Таким образом, неравенство $P_{BCH} > P_{ABC}$ эквивалентно неравенству $BC + CH + BH > BC + AC + AB$, которое после вычитания $BC$ из обеих частей превращается в:

$CH + BH > AC + AB$

Именно это неравенство мы и будем доказывать.

Доказательство:

1. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$. По условию, через вершину $A$ проведена прямая $m$, перпендикулярная $AL$ ($m \perp AL$). Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, является биссектрисой смежного с ним угла. То есть, прямая $m$ является внешней биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$. Точка $H$ лежит на этой прямой $m$.

2. Продлим сторону $AB$ за точку $A$. На этом продолжении отложим отрезок $AK$, равный отрезку $AC$. Таким образом, точка $A$ лежит между точками $K$ и $B$.

3. Рассмотрим треугольник $KAC$. Он является равнобедренным, так как $AK = AC$. Прямая $m$ (содержащая отрезок $AH$) является биссектрисой угла, внешнего к углу при вершине $A$ равнобедренного треугольника $KAC$. Внешний угол при вершине $A$ — это угол $KAC$ (он развернутый, но мы имеем в виду угол, смежный с $\angle BAC$). Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника также является медианой и высотой к основанию. Это свойство можно перенести и на биссектрису внешнего угла. Однако проще использовать симметрию.

4. Поскольку прямая $m$ является биссектрисой угла, образованного лучом $AC$ и лучом $AK$ (продолжением луча $AB$), она является осью симметрии для этих лучей. Рассмотрим симметрию относительно прямой $m$.

   При отражении относительно прямой $m$:

   • Точка $A$ переходит в себя, так как лежит на оси симметрии.
   • Луч $AC$ переходит в луч $AK$.
   • Поскольку $AC = AK$, точка $C$ перейдет в точку $K$.
   • Точка $H$ переходит в себя, так как лежит на оси симметрии.

   Из свойства симметрии следует, что расстояние от любой точки на оси до симметричных точек одинаково. Следовательно, для точки $H$ выполняется равенство: $CH = KH$.

5. Рассмотрим треугольник $BKH$. Его стороны — это отрезки $BK$, $KH$ и $BH$. По неравенству треугольника:

   $BH + KH > BK$

6. Теперь подставим в это неравенство полученные нами равенства. Мы знаем, что $KH = CH$. Подставляем и получаем:

   $BH + CH > BK$

   Рассмотрим отрезок $BK$. По построению, точка $A$ лежит на отрезке $BK$, поэтому его длина равна сумме длин отрезков $BA$ и $AK$:

   $BK = BA + AK$

   А так как мы откладывали $AK = AC$, то:

   $BK = AB + AC$

7. Подставив это выражение для $BK$ в неравенство треугольника, получаем:

   $BH + CH > AB + AC$

   Это и есть то неравенство, которое нам требовалось доказать.

8. Прибавив к обеим частям этого неравенства длину стороны $BC$, мы приходим к исходному утверждению:

   $BC + BH + CH > BC + AB + AC$

   $P_{BCH} > P_{ABC}$

   Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Периметр треугольника $BCH$ действительно больше периметра треугольника $ABC$.

437 В треугольнике ABC, где AB < АС, отрезок AD — биссектриса, отрезок АН — высота. Докажите, что точка Н лежит на луче DB.

Для доказательства утверждения нам нужно определить взаимное расположение точек $B$, $D$ и $H$ на прямой $BC$. Точка $H$ лежит на луче $DB$, если она либо совпадает с $D$, либо лежит на отрезке $DB$, либо точка $B$ лежит между $D$ и $H$. Мы докажем, что точка $H$ лежит на отрезке $DB$ (или совпадает с $B$ или $D$).

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, сторона $AB$ меньше стороны $AC$ ($AB < AC$). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, следовательно, угол, противолежащий стороне $AC$, больше угла, противолежащего стороне $AB$. Таким образом, $\angle ABC > \angle ACB$ или, для краткости, $\angle B > \angle C$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $AH$ ($AH \perp BC$).

1. Если углы $B$ и $C$ острые, то точка $H$ лежит на отрезке $BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$, $\angle CAH = 90^\circ - \angle C$.

Так как $\angle B > \angle C$, то $90^\circ - \angle B < 90^\circ - \angle C$. Следовательно, $\angle BAH < \angle CAH$.

Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому он делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC$. Весь угол $\angle BAC$ можно представить как сумму его частей: $\angle BAC = \angle BAH + \angle CAH$. Тогда $\angle BAD = \frac{\angle BAH + \angle CAH}{2}$.

Сравним величины углов $\angle BAH$ и $\angle BAD$: $\angle BAD - \angle BAH = \frac{\angle BAH + \angle CAH}{2} - \angle BAH = \frac{\angle CAH - \angle BAH}{2}$. Поскольку мы ранее установили, что $\angle CAH > \angle BAH$, разность $\angle CAH - \angle BAH$ положительна. Значит, и вся дробь положительна. Отсюда следует, что $\angle BAD > \angle BAH$.

Неравенство $\angle BAH < \angle BAD$ означает, что луч $AH$ находится между лучами $AB$ и $AD$. Так как лучи $AB$, $AH$ и $AD$ выходят из одной точки $A$ и пересекают прямую $BC$ в точках $B$, $H$ и $D$ соответственно, то порядок расположения этих точек на прямой будет таким же, как и порядок лучей. То есть, на прямой $BC$ точки расположены в последовательности $B$, $H$, $D$.

Это означает, что точка $H$ лежит на отрезке $BD$. Луч $DB$ начинается в точке $D$ и проходит через точку $B$. Любая точка отрезка $BD$ принадлежит лучу $DB$. Следовательно, точка $H$ лежит на луче $DB$.

2. Если $\angle B = 90^\circ$, то высота $AH$ совпадает со стороной $AB$, то есть точка $H$ совпадает с точкой $B$. Условие $AB < AC$ выполняется, так как $AC$ — гипотенуза. Биссектриса $AD$ пересекает катет $BC$ в точке $D$. Точка $H=B$ лежит на отрезке $DB$, а значит, и на луче $DB$.

3. Если $\angle B$ тупой, то высота $AH$ падает на продолжение стороны $BC$ за точку $B$. Порядок точек на прямой будет: $H$, $B$, $C$. Биссектриса $AD$ пересекает сторону $BC$, поэтому точка $D$ лежит между $B$ и $C$. Общий порядок точек: $H$, $B$, $D$, $C$. Луч $DB$ начинается в точке $D$ и направлен в сторону $B$. Точка $H$ находится на этом луче.

Таким образом, во всех возможных случаях точка $H$ лежит на луче $DB$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $H$ лежит на луче $DB$.

438 Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.

Рассмотрим произвольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $BH$ — высота, $BL$ — биссектриса, а $BM$ — медиана, проведённые из вершины $B$ к стороне $AC$. Точки $H, L, M$ являются основаниями этих отрезков и лежат на прямой $AC$.

Обозначим длины сторон треугольника: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Так как треугольник по условию неравнобедренный, то при рассмотрении высоты, биссектрисы и медианы из вершины $B$ мы имеем $a \neq c$.

Для доказательства утверждения воспользуемся координатным методом. Расположим треугольник на координатной плоскости так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0, 0)$, а вершина $C$ — на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершины $C$ будут $(b, 0)$. Координаты оснований $H, L, M$ — это их абсциссы на оси $Ox$.

1. Нахождение координаты точки M (основания медианы)
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, поэтому $M$ — середина отрезка $AC$. Её координата $x_M$ равна: $x_M = \frac{b}{2}$

2. Нахождение координаты точки L (основания биссектрисы)
По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$ Поскольку точка $L$ лежит на отрезке $AC$, то $AL = x_L$ и $LC = b - x_L$. Получаем уравнение: $\frac{x_L}{b - x_L} = \frac{c}{a}$ $a \cdot x_L = c(b - x_L) \implies a \cdot x_L = cb - c \cdot x_L \implies x_L(a+c) = cb$ Отсюда находим координату точки $L$: $x_L = \frac{bc}{a+c}$

3. Нахождение координаты точки H (основания высоты)
Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$. Координата точки $H$ — это абсцисса точки $B$. Обозначим координаты вершины $B$ как $(x_B, y_B)$, тогда $x_H = x_B$. По теореме косинусов для угла $A$ в треугольнике $ABC$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ Из прямоугольного треугольника $ABH$ (в случае острого угла $A$) имеем $x_H = c \cos A$. Это соотношение остаётся верным и в случае, если угол $A$ тупой. Выразим $\cos A$ из теоремы косинусов: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ Подставим это выражение для нахождения координаты точки $H$: $x_H = c \cdot \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2b}$

4. Сравнение положений точек H, L, M
Чтобы доказать, что точка $L$ лежит между точками $H$ и $M$, достаточно показать, что разности $(x_L - x_M)$ и $(x_L - x_H)$ имеют противоположные знаки. Это равносильно тому, что их произведение отрицательно.

Вычислим первую разность: $x_L - x_M = \frac{bc}{a+c} - \frac{b}{2} = \frac{2bc - b(a+c)}{2(a+c)} = \frac{2bc - ab - bc}{2(a+c)} = \frac{bc - ab}{2(a+c)} = \frac{b(c-a)}{2(a+c)}$

Вычислим вторую разность: $x_L - x_H = \frac{bc}{a+c} - \frac{b^2+c^2-a^2}{2b} = \frac{2b^2c - (a+c)(b^2+c^2-a^2)}{2b(a+c)}$ Преобразуем числитель этой дроби: $2b^2c - (ab^2+ac^2-a^3+cb^2+c^3-ca^2) = b^2c - ab^2 - ac^2 + a^3 - c^3 + a^2c$ $= (a^3 - c^3) + (a^2c - ac^2) - (ab^2 - b^2c) = (a-c)(a^2+ac+c^2) + ac(a-c) - b^2(a-c)$ $= (a-c)(a^2+ac+c^2+ac-b^2) = (a-c)((a+c)^2 - b^2) = (a-c)(a+c-b)(a+c+b)$ Таким образом, вторая разность равна: $x_L - x_H = \frac{(a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{2b(a+c)}$

Теперь найдём произведение этих разностей: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) = \left(\frac{b(c-a)}{2(a+c)}\right) \cdot \left(\frac{(a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{2b(a+c)}\right)$ Заменим $(c-a)$ на $-(a-c)$: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) = \left(\frac{-b(a-c)}{2(a+c)}\right) \cdot \left(\frac{(a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{2b(a+c)}\right) = \frac{-b(a-c)^2(a+c-b)(a+c+b)}{4b(a+c)^2}$ Сократив $b$, получаем: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) = -\frac{(a-c)^2(a+c-b)(a+c+b)}{4(a+c)^2}$

Проанализируем знак полученного выражения. Множитель $(a-c)^2$ строго положителен, так как треугольник неравнобедренный ($a \neq c$). Множитель $(a+c)^2$ также положителен. Сумма $(a+c+b)$ — это периметр треугольника, она положительна. Разность $(a+c-b)$ положительна по неравенству треугольника (сумма двух сторон всегда больше третьей). Таким образом, все множители в дроби, кроме знака минус перед ней, строго положительны. Следовательно, всё произведение отрицательно: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) < 0$

Это означает, что числа $x_M$ и $x_H$ находятся по разные стороны от числа $x_L$. Таким образом, точка $L$ (основание биссектрисы) лежит на отрезке между точками $H$ (основание высоты) и $M$ (основание медианы). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из той же вершины, доказано.

439 Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C — прямой ($?C = 90°$), катеты AC и BC не равны ($AC \neq BC$). Проведём из вершины C высоту CH, медиану CM и биссектрису CL. Нам нужно доказать, что биссектриса CL делит угол HCM пополам, то есть $?HCL = ?LCM$.

1. Найдём величину угла ACH.
Пусть острые углы треугольника ABC равны $?A = ?$ и $?B = ?$. Так как сумма углов треугольника равна $180°$, то $? + ? + 90° = 180°$, откуда $? + ? = 90°$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (CH — высота, следовательно $?CHA = 90°$). В нём $?HAC = ?A = ?$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$, поэтому $?ACH = 90° - ?HAC = 90° - ?$.
Так как $? + ? = 90°$, то $? = 90° - ?$. Следовательно, $?ACH = ?$.

2. Найдём величину угла ACM.
CM — медиана, проведённая к гипотенузе AB. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, она равна половине гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.
Рассмотрим треугольник AMC. Так как $CM = AM$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $?ACM = ?MAC = ?A = ?$.

3. Найдём величину угла ACL.
CL — биссектриса прямого угла C. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: $?ACL = ?BCL = \frac{90°}{2} = 45°$.

4. Сравним углы HCL и LCM.
Поскольку катеты не равны ($AC \neq BC$), то и прилежащие к ним острые углы не равны ($? \neq ?$). Допустим, для определённости, что $AC < BC$. Тогда, напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть $?B < ?A$, или $? < ?$.
Так как $? + ? = 90°$ и $? > ?$, то $? > 45°$ и $? < 45°$.
Теперь мы можем найти углы $?HCL$ и $?LCM$.
Угол между высотой и биссектрисой: $?HCL = ?ACL - ?ACH = 45° - ?$.
Угол между медианой и биссектрисой: $?LCM = ?ACM - ?ACL = ? - 45°$.
Нам нужно доказать, что $?HCL = ?LCM$, то есть $45° - ? = ? - 45°$.
Перенесём члены уравнения: $45° + 45° = ? + ?$, что даёт $90° = ? + ?$.
Это равенство является верным, так как $?$ и $?$ — острые углы прямоугольного треугольника.

Таким образом, мы доказали, что $?HCL = ?LCM$, а значит, биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины.

Ответ: Что и требовалось доказать.

440 Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Доказательство:

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$. По условию задачи, эти линии делят угол $\angle BAC$ на три равные части. Обозначим величину каждой из этих частей через $\alpha$.

Если бы треугольник был равнобедренным с $AB = AC$, то высота и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадали бы. В этом случае угол $\angle BAC$ делился бы на две, а не на три части. Следовательно, $AB \neq AC$. Без ограничения общности, пусть $AB > AC$. В этом случае на стороне $BC$ точка $H$ (основание высоты) лежит между точками $B$ и $M$ (серединой стороны), а порядок лучей, выходящих из вершины $A$, следующий: луч $AC$, луч $AM$, луч $AH$, луч $AB$.

Из условия следует, что $\angle CAM = \angle MAH = \angle HAB = \alpha$.

Тогда весь угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 3\alpha$. Угол между стороной $AC$ и высотой $AH$ равен $\angle CAH = \angle CAM + \angle MAH = 2\alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $AH$.
В $\triangle AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$): $\angle C = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - 2\alpha$.
В $\triangle AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$): $\angle B = 90^\circ - \angle HAB = 90^\circ - \alpha$.

Теперь воспользуемся свойством медианы ($BM = MC$) и применим теорему синусов к треугольникам $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

Для $\triangle ACM$ по теореме синусов:$ \frac{MC}{\sin(\angle CAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle C)} \implies \frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} = \frac{AM}{\cos(2\alpha)} $.Отсюда $ MC = \frac{AM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)} $.

Для $\triangle ABM$, в котором $\angle BAM = \angle MAH + \angle HAB = 2\alpha$, по теореме синусов:$ \frac{BM}{\sin(\angle BAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle B)} \implies \frac{BM}{\sin(2\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - \alpha)} = \frac{AM}{\cos(\alpha)} $.Отсюда $ BM = \frac{AM \cdot \sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{AM \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2 AM \sin(\alpha) $.

Приравнивая выражения для $BM$ и $MC$:$ 2 AM \sin(\alpha) = \frac{AM \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)} $.

Так как $AM > 0$ и $\alpha$ является частью угла треугольника ($0 < 3\alpha < 180^\circ$), то $\sin(\alpha) \neq 0$. Сократив обе части на $AM \sin(\alpha)$, получим:$ 2 = \frac{1}{\cos(2\alpha)} $, или $ \cos(2\alpha) = \frac{1}{2} $.

Поскольку $2\alpha = \angle CAH$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, $0 < 2\alpha < 90^\circ$. Единственное решение уравнения в этом интервале — $2\alpha = 60^\circ$, что дает $\alpha = 30^\circ$.

Таким образом, угол $\angle BAC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$. Мы доказали, что треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

441 В треугольнике ABC высота АА₁ не меньше стороны ВС, а высота ВВ₁ не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a=BC$ и $b=AC$. Высоты, опущенные на эти стороны, обозначим как $h_a = AA_1$ и $h_b = BB_1$ соответственно.

По условию задачи даны два неравенства: $h_a \ge a$ и $h_b \ge b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$, образованный высотой $AA_1$, стороной $AC$ и отрезком $A_1C$. В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AA_1$ — катетом. В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы не меньше длины любого из катетов. Следовательно, $AC \ge AA_1$, что в наших обозначениях записывается как $b \ge h_a$.

Сопоставим это неравенство с первым условием из задачи ($h_a \ge a$). Получаем следующую цепочку неравенств: $b \ge h_a \ge a$. Из этой цепочки следует, что $b \ge a$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1C$. В нём гипотенузой является сторона $BC=a$, а катетом — высота $BB_1=h_b$. Следовательно, $BC \ge BB_1$, или $a \ge h_b$.

Сопоставим это неравенство со вторым условием из задачи ($h_b \ge b$). Получаем цепочку неравенств: $a \ge h_b \ge b$. Отсюда следует, что $a \ge b$.

Таким образом, мы получили два неравенства: $b \ge a$ и $a \ge b$. Они могут выполняться одновременно только в случае равенства, то есть $a = b$. Это означает, что стороны $BC$ и $AC$ равны, и, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Теперь докажем, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. Из того, что $a=b$, и ранее полученного неравенства $b \ge h_a$ следует, что $a \ge h_a$. Сравнивая это с первым условием задачи $h_a \ge a$, мы можем заключить, что возможно только равенство: $h_a = a$.

Рассмотрим снова прямоугольный треугольник $AA_1C$. Мы знаем, что его гипотенуза $AC=b$ и катет $AA_1=h_a$. Поскольку мы доказали, что $a=b$ и $h_a=a$, то получается, что в этом треугольнике гипотенуза $AC$ равна катету $AA_1$. Такое возможно только в вырожденном случае, когда длина второго катета ($A_1C$) равна нулю. Это означает, что точка $A_1$ (основание высоты) совпадает с вершиной $C$.

По определению, высота $AA_1$ перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона $BC$. Если точка $A_1$ совпадает с $C$, то это означает, что отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $BC$. Следовательно, угол $\angle ACB$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$.

Итак, мы доказали, что треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC=BC$) и прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$).

Ответ: Утверждение доказано: треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным.