Номер 433, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 433, страница 117.

433 Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

Дано:
В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$ является одновременно биссектрисой угла $\angle B$ и медианой, проведенной к стороне $AC$. Это означает, что:
1) $\angle ABD = \angle CBD$ (по свойству биссектрисы).
2) $AD = DC$ (по свойству медианы).

Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть $AB = BC$.

Доказательство:

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $BD$ за точку $D$ отложим отрезок $DE$, равный отрезку $BD$. Соединим точку $E$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CED$. В этих треугольниках:
- $AD = CD$ (по условию, так как $BD$ — медиана).
- $BD = ED$ (по построению).
- $\angle ADB = \angle CDE$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CED$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства $\triangle ABD \cong \triangle CED$ следует равенство их соответственных элементов:

1) $AB = CE$.
2) $\angle ABD = \angle CED$.

По условию задачи $BD$ является биссектрисой, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$.

Из равенств $\angle ABD = \angle CED$ и $\angle ABD = \angle CBD$ следует, что $\angle CBD = \angle CED$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCE$. Так как в нем два угла равны ($\angle CBE = \angle CEB$), то по признаку равнобедренного треугольника он является равнобедренным. Это означает, что стороны, лежащие против равных углов, равны, то есть $BC = CE$.

Мы получили, что $AB = CE$ и $BC = CE$. Следовательно, $AB = BC$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана.