Номер 426, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 426, страница 116.

426 В каждом из следующих случаев определите вид треугольника:

а) сумма любых двух углов больше 90°;

б) каждый угол меньше суммы двух других углов.

а) сумма любых двух углов больше 90°
Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По теореме о сумме углов треугольника, их сумма составляет $180^\circ$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
Из этого равенства можно выразить сумму любых двух углов через третий угол. Например, $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$.
По условию задачи, сумма любых двух углов больше $90^\circ$. Рассмотрим это для пары углов $\alpha$ и $\beta$:
$\alpha + \beta > 90^\circ$
Подставим сюда выражение для суммы этих углов:
$180^\circ - \gamma > 90^\circ$
Выразим из этого неравенства $\gamma$:
$180^\circ - 90^\circ > \gamma$
$\gamma < 90^\circ$
Поскольку это условие должно выполняться для любых двух углов, аналогичные рассуждения можно провести для пар углов $\beta$, $\gamma$ и $\alpha$, $\gamma$. Это приведет нас к выводу, что и другие два угла также меньше $90^\circ$:
$\beta + \gamma > 90^\circ \implies 180^\circ - \alpha > 90^\circ \implies \alpha < 90^\circ$
$\alpha + \gamma > 90^\circ \implies 180^\circ - \beta > 90^\circ \implies \beta < 90^\circ$
Таким образом, все три угла треугольника меньше $90^\circ$. Треугольник, у которого все углы острые (меньше $90^\circ$), называется остроугольным.
Ответ: Остроугольный треугольник.

б) каждый угол меньше суммы двух других углов
Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и их сумма $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
Условие гласит, что каждый угол меньше суммы двух других. Запишем это в виде системы неравенств:
$\alpha < \beta + \gamma$
$\beta < \alpha + \gamma$
$\gamma < \alpha + \beta$
Рассмотрим первое неравенство: $\alpha < \beta + \gamma$. Из теоремы о сумме углов мы знаем, что $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$. Подставим это в неравенство:
$\alpha < 180^\circ - \alpha$
Прибавим $\alpha$ к обеим частям неравенства:
$2\alpha < 180^\circ$
Разделим обе части на 2:
$\alpha < 90^\circ$
Проведя аналогичные действия для двух других неравенств, мы получим, что $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника меньше $90^\circ$, данный треугольник является остроугольным. Это свойство выполняется только для остроугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике прямой угол равен сумме двух других ($90^\circ = 90^\circ$, а не меньше), а в тупоугольном треугольнике тупой угол всегда больше суммы двух других.
Ответ: Остроугольный треугольник.