Номер 428, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 428, страница 117.

428 Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята такая точка М, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC = 80°.

Для начала найдем углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а углы при основании $BC$ равны ($\angle ABC = \angle ACB$), то каждый из них равен:$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$.

Теперь, зная углы треугольника $ABC$ и углы, связанные с точкой $M$, мы можем найти другие углы в фигуре.Найдем угол $\angle ABM$:$\angle ABM = \angle ABC - \angle MBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$.Найдем угол $\angle ACM$:$\angle ACM = \angle ACB - \angle MCB = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Найдем в нем угол $\angle BMC$:$\angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - (30^\circ + 10^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Чтобы найти искомый угол $\angle AMC$, мы можем доказать, что треугольник $AMC$ является равнобедренным. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольников $ABC$ и $BMC$.Из теоремы синусов для $\triangle ABC$:$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \implies \frac{AC}{\sin(50^\circ)} = \frac{BC}{\sin(80^\circ)}$Отсюда $AC = BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$.

Из теоремы синусов для $\triangle BMC$:$\frac{MC}{\sin(\angle MBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} \implies \frac{MC}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(140^\circ)}$Отсюда $MC = BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)}$.

Теперь сравним выражения для $AC$ и $MC$. Для этого преобразуем их, используя тригонометрические тождества $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$ и формулу двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.$AC = BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)} = BC \cdot \frac{\cos(40^\circ)}{\sin(2 \cdot 40^\circ)} = BC \cdot \frac{\cos(40^\circ)}{2\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)} = BC \cdot \frac{1}{2\sin(40^\circ)}$.$MC = BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)} = BC \cdot \frac{0.5}{\sin(180^\circ-40^\circ)} = BC \cdot \frac{0.5}{\sin(40^\circ)} = BC \cdot \frac{1}{2\sin(40^\circ)}$.Мы получили, что $AC = MC$.

Так как $AC = MC$, то треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MAC = \angle AMC$. Угол при вершине $C$ этого треугольника, $\angle ACM$, равен $40^\circ$. Сумма углов в треугольнике $AMC$ равна $180^\circ$, поэтому:$\angle AMC + \angle MAC + \angle ACM = 180^\circ$$2 \cdot \angle AMC + 40^\circ = 180^\circ$$2 \cdot \angle AMC = 140^\circ$$\angle AMC = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.