Номер 424, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 424, страница 116.

424 Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен α.

Пусть внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A, B, C$ равны $\angle A, \angle B, \angle C$ соответственно. По условию задачи $\angle A = \alpha$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для треугольника $ABC$ имеем:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.Отсюда можно выразить сумму углов $\angle B$ и $\angle C$:$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \alpha$.

Внешний угол треугольника при любой вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине.Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle B$.Внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - \angle C$.

Прямая $BO$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $B$. Это означает, что она делит этот угол пополам. Следовательно, угол $\angle OBC$, который является частью треугольника $BOC$, равен:$\angle OBC = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$.

Аналогично, прямая $CO$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $C$. Следовательно, угол $\angle OCB$ равен:$\angle OCB = \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.

Подставим в это равенство найденные выражения для углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$:$\angle BOC + (90^\circ - \frac{\angle B}{2}) + (90^\circ - \frac{\angle C}{2}) = 180^\circ$.

Упростим полученное уравнение:$\angle BOC + 180^\circ - (\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}) = 180^\circ$.$\angle BOC - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 0$.$\angle BOC = \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Ранее мы установили, что $\angle B + \angle C = 180^\circ - \alpha$. Подставим это значение в формулу для $\angle BOC$:$\angle BOC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.