Номер 418, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 418, страница 116.

418 Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.

Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что не все шесть данных точек лежат на одной прямой. Пусть $S$ — это множество данных шести точек.

Рассмотрим множество всех возможных пар $(P, l)$, где $P$ — одна из шести точек, а $l$ — прямая, проходящая через какие-либо две другие точки из $S$, причем точка $P$ не лежит на прямой $l$. Так как мы предположили, что не все точки лежат на одной прямой, такое множество пар не пусто.

Для каждой такой пары $(P, l)$ вычислим расстояние от точки $P$ до прямой $l$. Поскольку количество точек и количество прямых, определяемых этими точками, конечно, мы можем выбрать из всех этих положительных расстояний наименьшее.

Пусть $h$ — это минимальное ненулевое расстояние, и пусть оно достигается для пары $(P_0, l_0)$, где $P_0 \in S$, а прямая $l_0$ проходит через две точки из $S$, и $P_0 \notin l_0$.

Согласно условию задачи, любая прямая, проходящая через две точки из $S$, содержит по крайней мере еще одну точку из $S$. Следовательно, на прямой $l_0$ лежат как минимум три точки из данного множества. Обозначим три из этих точек как $A$, $B$ и $C$.

Опустим из точки $P_0$ перпендикуляр $P_0H$ на прямую $l_0$. Длина этого перпендикуляра по нашему выбору равна $h$, то есть $|P_0H| = h$.

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на прямой $l_0$. Как минимум две из этих трех точек должны лежать по одну сторону от основания перпендикуляра $H$ (возможно, одна из них совпадает с $H$). Не умаляя общности, пусть это будут точки $A$ и $B$. Для определенности, пусть точка $A$ будет расположена ближе к $H$, а точка $B$ — дальше, то есть $|HA| < |HB|$ (если $A=H$, то неравенство также выполняется, так как $|HA|=0$).

Теперь рассмотрим новую прямую $l_1$, проходящую через точки $P_0$ и $B$. Эта прямая определяется двумя точками из $S$, значит, она принадлежит нашему набору прямых. Точка $A$ не лежит на прямой $l_1$, так как в противном случае точки $A$, $B$ и $P_0$ были бы коллинеарны, что означало бы, что $P_0$ лежит на прямой $l_0$, а это противоречит нашему выбору.

Найдем расстояние от точки $A$ до прямой $l_1$. Обозначим это расстояние $h_1$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle AP_0B$. Его площадь можно выразить двумя способами:

1. Взяв за основание отрезок $AB$, лежащий на прямой $l_0$. Высота, опущенная из вершины $P_0$ на прямую $l_0$, равна $h$. Тогда площадь $S_{\triangle AP_0B} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$.

2. Взяв за основание отрезок $P_0B$, лежащий на прямой $l_1$. Высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $l_1$, равна $h_1$. Тогда площадь $S_{\triangle AP_0B} = \frac{1}{2} \cdot |P_0B| \cdot h_1$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем: $|AB| \cdot h = |P_0B| \cdot h_1$ Отсюда $h_1 = h \cdot \frac{|AB|}{|P_0B|}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle P_0HB$. В нем $P_0B$ является гипотенузой, а $HB$ и $P_0H$ — катетами. По теореме Пифагора $|P_0B|^2 = |P_0H|^2 + |HB|^2$. Отсюда следует, что гипотенуза длиннее катета: $|P_0B| > |HB|$.

По нашему выбору расположения точек $A$ и $B$ относительно $H$, отрезок $AB$ короче отрезка $HB$ (поскольку $A$ лежит между $H$ и $B$, или $A=H$). Таким образом, $|AB| < |HB|$.

Объединяя неравенства, получаем: $|AB| < |HB| < |P_0B|$. Следовательно, $|AB| < |P_0B|$, а значит, дробь $\frac{|AB|}{|P_0B|} < 1$.

Тогда для $h_1$ получаем: $h_1 = h \cdot \frac{|AB|}{|P_0B|} < h$.

Мы нашли новую пару (точка $A$, прямая $l_1$), расстояние между которыми $h_1$ строго меньше $h$. Но $h$ было выбрано как минимальное ненулевое расстояние. Мы пришли к противоречию.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, все шесть точек должны лежать на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Все шесть точек лежат на одной прямой.