Номер 411, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 411, страница 115.

411 Даны прямые a, b и окружность с центром О. а) Постройте прямую a₁, симметричную прямой а относительно прямой b. б) Используя прямую a₁, постройте отрезок так, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой а и данной окружности.

а) Для построения прямой $a_1$, симметричной прямой $a$ относительно прямой $b$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбираем на прямой $a$ две произвольные различные точки, назовем их $A$ и $B$.

2. Строим точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно прямой $b$. Для этого:

- Проводим через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Пусть точка пересечения этой прямой с прямой $b$ будет $H_A$.

- На перпендикулярной прямой откладываем от точки $H_A$ отрезок $H_A A_1$, равный отрезку $A H_A$, так, чтобы точки $A$ и $A_1$ лежали по разные стороны от прямой $b$. Точка $A_1$ является симметричной точке $A$.

3. Аналогично строим точку $B_1$, симметричную точке $B$ относительно прямой $b$. Для этого:

- Проводим через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Пусть точка пересечения этой прямой с прямой $b$ будет $H_B$.

- На этой перпендикулярной прямой откладываем от точки $H_B$ отрезок $H_B B_1$, равный отрезку $B H_B$, так, чтобы точки $B$ и $B_1$ лежали по разные стороны от прямой $b$. Точка $B_1$ является симметричной точке $B$.

4. Проводим прямую через построенные точки $A_1$ и $B_1$. Эта прямая и будет искомой прямой $a_1$.

Примечание: Если прямая $a$ пересекает прямую $b$ в точке $M$, то точка $M$ симметрична самой себе. В этом случае достаточно выбрать на прямой $a$ только одну точку $A$ (отличную от $M$), построить симметричную ей точку $A_1$ и провести прямую через точки $M$ и $A_1$.

Ответ: Прямая $a_1$ строится путем нахождения симметричных образов двух точек прямой $a$ относительно прямой $b$ и проведения через них новой прямой.

б) Пусть искомый отрезок – это $XY$, где точка $X$ лежит на прямой $a$, а точка $Y$ лежит на данной окружности с центром $O$. По условию, прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $XY$.

Из определения серединного перпендикуляра следует, что точки $X$ и $Y$ симметричны относительно прямой $b$.

Так как точка $X$ лежит на прямой $a$, а точка $Y$ симметрична ей относительно прямой $b$, то точка $Y$ должна лежать на прямой $a_1$, которая симметрична прямой $a$ относительно прямой $b$ (построена в пункте а)).

Таким образом, точка $Y$ должна удовлетворять двум условиям одновременно:

1. Точка $Y$ лежит на данной окружности.

2. Точка $Y$ лежит на прямой $a_1$.

Следовательно, точка $Y$ является точкой пересечения прямой $a_1$ и данной окружности. Отсюда вытекает следующий алгоритм построения:

1. Строим прямую $a_1$, симметричную прямой $a$ относительно прямой $b$, как это описано в пункте а).

2. Находим точки пересечения прямой $a_1$ с данной окружностью. Возможны три случая:

- Прямая $a_1$ не пересекает окружность. В этом случае задача не имеет решений.

- Прямая $a_1$ касается окружности в одной точке. Назовем эту точку $Y$. В этом случае задача имеет одно решение.

- Прямая $a_1$ пересекает окружность в двух точках. Назовем их $Y_1$ и $Y_2$. В этом случае задача имеет два решения.

3. Для каждой найденной точки $Y$ (или $Y_1, Y_2$) строим соответствующую ей точку $X$ (или $X_1, X_2$). Для этого находим точку, симметричную $Y$ относительно прямой $b$. Проводим через $Y$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Точка пересечения этой перпендикулярной прямой с исходной прямой $a$ и будет искомой точкой $X$.

4. Соединяем точки $X$ и $Y$ (или $X_1$ и $Y_1$, $X_2$ и $Y_2$). Полученный отрезок (или отрезки) является искомым.

Ответ: Искомый отрезок $XY$ строится следующим образом: строится прямая $a_1$, симметричная прямой $a$ относительно $b$. Точка $Y$ находится как пересечение прямой $a_1$ и данной окружности. Точка $X$ находится как точка, симметричная точке $Y$ относительно прямой $b$. В зависимости от количества точек пересечения $a_1$ и окружности, задача может иметь ноль, одно или два решения.