Номер 409, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 409, страница 115.

409 Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.

Ось симметрии геометрической фигуры — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для треугольника ось симметрии может проходить только через вершину и середину противоположной стороны. Таким образом, если у треугольника есть ось симметрии, он является равнобедренным, а эта ось является одновременно его медианой, высотой и биссектрисой, проведенной к основанию.

Пусть дан треугольник $ABC$, и он имеет две оси симметрии.

1. Пусть первая ось симметрии проходит через вершину $A$. Это означает, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$. Отсюда следует равенство боковых сторон: $AB = AC$.

2. Пусть вторая ось симметрии проходит через вершину $B$ (она не может совпадать с первой, так как оси симметрии треугольника пересекаются в одной точке). Это означает, что треугольник $ABC$ также является равнобедренным, но уже с основанием $AC$. Отсюда следует равенство боковых сторон: $BA = BC$.

Из полученных равенств $AB = AC$ и $AB = BC$ мы можем сделать вывод, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = AC = BC$.

Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним.

Теперь необходимо доказать, что у такого треугольника есть и третья ось симметрии. Мы уже знаем, что прямые, содержащие медианы (они же высоты и биссектрисы) из вершин $A$ и $B$, являются осями симметрии. Рассмотрим прямую, проходящую через третью вершину $C$ и середину противоположной стороны $AB$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, то выполняется равенство $CA = CB$. Это означает, что он является равнобедренным и относительно вершины $C$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, является также высотой и биссектрисой, а содержащая её прямая — осью симметрии.

Следовательно, прямая, проходящая через вершину $C$ и середину стороны $AB$, является третьей осью симметрии треугольника.

Таким образом, если треугольник имеет две оси симметрии, он обязательно является равносторонним, а равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.

Ответ: Что и требовалось доказать.