Номер 407, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 407, страница 115.

407 Докажите, что любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра $O$ равно радиусу $R$.

Рассмотрим произвольную прямую $l$, проходящую через центр окружности $O$. Нам нужно доказать, что эта прямая является осью симметрии окружности.

Ось симметрии фигуры — это такая прямая, что при симметричном отражении относительно неё фигура переходит сама в себя. Это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей окружности, точка $A'$, симметричная ей относительно прямой $l$, также должна принадлежать этой окружности.

Возьмём произвольную точку $A$ на окружности $\omega$. По определению окружности, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $OA = R$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $A$.

Случай 1: Точка $A$ лежит на прямой $l$.
Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то при отражении она переходит сама в себя, то есть точка, ей симметричная, совпадает с ней. Поскольку точка $A$ принадлежит окружности, то и симметричная ей точка также принадлежит ей.

Случай 2: Точка $A$ не лежит на прямой $l$.
Пусть точка $A'$ — это точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $l$. По определению осевой симметрии, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это значит, что если $H$ — точка пересечения отрезка $AA'$ и прямой $l$, то $AH = A'H$ и отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$ ($AA' \perp l$).

Рассмотрим треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHA'$. В этих треугольниках: сторона $OH$ является общей; углы $\angle OHA$ и $\angle OHA'$ прямые, так как $l \perp AA'$; катеты $AH$ и $A'H$ равны по свойству симметрии. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHA'$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $OA' = OA$.

Поскольку точка $A$ лежит на окружности, её расстояние до центра равно радиусу: $OA = R$. Из этого следует, что и $OA' = R$.

Так как расстояние от точки $A'$ до центра окружности $O$ равно радиусу $R$, точка $A'$ по определению также принадлежит окружности $\omega$.

Таким образом, мы показали, что для любой точки $A$ на окружности симметричная ей относительно прямой $l$ точка $A'$ также лежит на этой окружности. Это означает, что при симметрии относительно прямой $l$ окружность переходит сама в себя. Следовательно, любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой точки на окружности точка, симметричная ей относительно прямой, проходящей через центр, также лежит на окружности, так как она находится на том же расстоянии (равном радиусу) от центра. Это по определению означает, что такая прямая является осью симметрии.