Номер 404, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 404, страница 115.

404 Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой a, перпендикулярны.

Пусть даны две перпендикулярные прямые $b$ и $c$, и прямая $a$, относительно которой производится симметрия. Пусть прямая $b'$ симметрична прямой $b$ относительно $a$, а прямая $c'$ симметрична прямой $c$ относительно $a$. Нам нужно доказать, что $b' \perp c'$.

Доказательство основано на свойстве осевой симметрии. Осевая симметрия является движением. Одним из фундаментальных свойств любого движения является сохранение углов между фигурами, в частности, между прямыми.

По условию, прямые $b$ и $c$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$. Обозначим угол между прямыми $x$ и $y$ как $\angle(x, y)$. Таким образом, $\angle(b, c) = 90^\circ$.

Прямая $b'$ является образом прямой $b$ при осевой симметрии относительно прямой $a$. Аналогично, $c'$ является образом $c$. Так как осевая симметрия сохраняет углы, угол между образами прямых ($b'$ и $c'$) будет равен углу между их прообразами ($b$ и $c$).

Следовательно, $\angle(b', c') = \angle(b, c)$.

Поскольку $\angle(b, c) = 90^\circ$, то и $\angle(b', c') = 90^\circ$.

Если угол между прямыми $b'$ и $c'$ равен $90^\circ$, то по определению эти прямые перпендикулярны, то есть $b' \perp c'$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.