Номер 402, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. Параграф 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 402, страница 114.
№402 (с. 114)
Условие. №402 (с. 114)
скриншот условия

402 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
Решение 1. №402 (с. 114)

Решение 6. №402 (с. 114)


Решение 10. №402 (с. 114)

Решение 11. №402 (с. 114)
Пусть даны две параллельные прямые и и точка , не лежащая на них. Требуется построить окружность, проходящую через и касающуюся и .
Анализ задачи
Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними. Назовем эту прямую .
Радиус любой окружности, касающейся и , равен половине расстояния между этими прямыми. Это расстояние постоянно для всех таких окружностей.
Так как искомая окружность должна проходить через точку , ее центр должен быть удален от точки на расстояние, равное радиусу . Иначе говоря, .
Таким образом, центр искомой окружности должен удовлетворять двум условиям:
1. Он должен лежать на серединной прямой .
2. Он должен лежать на окружности с центром в точке и радиусом .
Следовательно, центр является точкой пересечения прямой и окружности с центром и радиусом .
Алгоритм построения
- Нахождение радиуса и построение серединной прямой .
- Выберем произвольную точку на прямой . Построим прямую, перпендикулярную и проходящую через . Пусть она пересекает в точке .
- Длина отрезка есть расстояние между прямыми. Радиус искомой окружности равен половине этого расстояния: .
- Найдем середину отрезка (с помощью циркуля и линейки).
- Через точку проведем прямую , параллельную . Это и есть серединная прямая.
- Нахождение центра (или центров) искомой окружности.
- Построим окружность с центром в данной точке и радиусом, равным (то есть равным длине отрезка ).
- Точки пересечения этой окружности с прямой являются центрами искомых окружностей. Обозначим их и (если они существуют).
- Построение искомой окружности (окружностей).
- Из каждой найденной точки-центра () проведем окружность радиусом . Эти окружности будут искомыми.
Доказательство
Построенная окружность с центром и радиусом по построению имеет центр на серединной прямой , а ее радиус равен половине расстояния между и . Следовательно, она касается обеих прямых и . Также по построению центр лежит на окружности с центром и радиусом , значит, расстояние , и окружность проходит через точку . Аналогично для окружности с центром . Таким образом, построенные окружности удовлетворяют всем условиям задачи.
Исследование
Число решений задачи зависит от взаимного расположения прямой и окружности с центром и радиусом . Пусть — расстояние от точки до прямой .
- Если точка расположена между прямыми и , то . В этом случае прямая пересекает окружность с центром в двух точках. Задача имеет два решения.
- Если точка расположена вне полосы, ограниченной прямыми и , то . В этом случае у прямой и окружности нет общих точек. Задача не имеет решений.
- Если точка лежит на одной из прямых или , то . Прямая касается окружности в одной точке. Задача имеет одно решение. (Этот случай исключен условием задачи).
Ответ: Если точка лежит между данными параллельными прямыми, то существует две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Если точка лежит вне полосы, образованной данными прямыми, то решений не существует. Построение описано выше.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 402 расположенного на странице 114 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №402 (с. 114), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.