Номер 402, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

402 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ и точка $P$, не лежащая на них. Требуется построить окружность, проходящую через $P$ и касающуюся $l_1$ и $l_2$.

Анализ задачи

Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними. Назовем эту прямую $m$.

Радиус $R$ любой окружности, касающейся $l_1$ и $l_2$, равен половине расстояния между этими прямыми. Это расстояние постоянно для всех таких окружностей.

Так как искомая окружность должна проходить через точку $P$, ее центр $O$ должен быть удален от точки $P$ на расстояние, равное радиусу $R$. Иначе говоря, $OP = R$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Он должен лежать на серединной прямой $m$.
2. Он должен лежать на окружности с центром в точке $P$ и радиусом $R$.

Следовательно, центр $O$ является точкой пересечения прямой $m$ и окружности с центром $P$ и радиусом $R$.

Алгоритм построения

1. Нахождение радиуса $R$ и построение серединной прямой $m$.
   • Выберем произвольную точку $A$ на прямой $l_1$. Построим прямую, перпендикулярную $l_1$ и проходящую через $A$. Пусть она пересекает $l_2$ в точке $B$.
   • Длина отрезка $AB$ есть расстояние между прямыми. Радиус искомой окружности $R$ равен половине этого расстояния: $R = \frac{1}{2}AB$.
   • Найдем середину $M$ отрезка $AB$ (с помощью циркуля и линейки).
   • Через точку $M$ проведем прямую $m$, параллельную $l_1$. Это и есть серединная прямая.
2. Нахождение центра (или центров) $O$ искомой окружности.
   • Построим окружность с центром в данной точке $P$ и радиусом, равным $R$ (то есть равным длине отрезка $AM$).
   • Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ являются центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$ (если они существуют).
3. Построение искомой окружности (окружностей).
   • Из каждой найденной точки-центра ($O_1, O_2$) проведем окружность радиусом $R$. Эти окружности будут искомыми.

Доказательство

Построенная окружность с центром $O_1$ и радиусом $R$ по построению имеет центр на серединной прямой $m$, а ее радиус равен половине расстояния между $l_1$ и $l_2$. Следовательно, она касается обеих прямых $l_1$ и $l_2$. Также по построению центр $O_1$ лежит на окружности с центром $P$ и радиусом $R$, значит, расстояние $O_1P=R$, и окружность проходит через точку $P$. Аналогично для окружности с центром $O_2$. Таким образом, построенные окружности удовлетворяют всем условиям задачи.

Исследование

Число решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $m$ и окружности с центром $P$ и радиусом $R$. Пусть $d(P, m)$ — расстояние от точки $P$ до прямой $m$.

• Если точка $P$ расположена между прямыми $l_1$ и $l_2$, то $d(P, m) < R$. В этом случае прямая $m$ пересекает окружность с центром $P$ в двух точках. Задача имеет два решения.
• Если точка $P$ расположена вне полосы, ограниченной прямыми $l_1$ и $l_2$, то $d(P, m) > R$. В этом случае у прямой и окружности нет общих точек. Задача не имеет решений.
• Если точка $P$ лежит на одной из прямых $l_1$ или $l_2$, то $d(P, m) = R$. Прямая касается окружности в одной точке. Задача имеет одно решение. (Этот случай исключен условием задачи).

Ответ: Если точка $P$ лежит между данными параллельными прямыми, то существует две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Если точка $P$ лежит вне полосы, образованной данными прямыми, то решений не существует. Построение описано выше.