Номер 397, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 397, страница 114.

397 Отрезок AB является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.

Дано:
Окружность с центром в точке $O$.
Отрезок $AB$ является диаметром окружности.
Хорды $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Доказать:
Хорда $CD$ является диаметром.

Доказательство:
В окружности дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. Так как по условию хорды $BC$ и $AD$ параллельны, то градусные меры дуг $AC$ и $BD$, расположенных между ними, равны.
$m(\stackrel{\frown}{AC}) = m(\stackrel{\frown}{BD})$

Поскольку $AB$ является диаметром, он делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Рассмотрим дугу $ADB$, которая является одной из этих полуокружностей. Её градусная мера складывается из градусных мер дуг $AD$ и $DB$:
$m(\stackrel{\frown}{ADB}) = m(\stackrel{\frown}{AD}) + m(\stackrel{\frown}{DB}) = 180^\circ$

Теперь рассмотрим градусную меру дуги $CAD$. Она равна сумме градусных мер дуг $CA$ и $AD$:
$m(\stackrel{\frown}{CAD}) = m(\stackrel{\frown}{CA}) + m(\stackrel{\frown}{AD})$

Заменим в этом выражении $m(\stackrel{\frown}{CA})$ на равную ей величину $m(\stackrel{\frown}{BD})$:
$m(\stackrel{\frown}{CAD}) = m(\stackrel{\frown}{BD}) + m(\stackrel{\frown}{AD})$

Правая часть этого равенства есть не что иное, как градусная мера дуги $BDA$. Таким образом, мы получаем:
$m(\stackrel{\frown}{CAD}) = m(\stackrel{\frown}{BDA}) = 180^\circ$

Хорда, которая стягивает дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. Следовательно, хорда $CD$ является диаметром.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что хорда $CD$ является диаметром, доказано.