Номер 30, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Вопросы для повторения к главе 5 - номер 30, страница 114.

Условие.

30 Как построить точку, симметричную точке М относительно прямой b: а) с помощью циркуля и линейки; б) с помощью одного циркуля?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Чтобы построить точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно прямой $b$, нужно выполнить следующие построения.

а) с помощью циркуля и линейки;

Классическое построение с использованием обоих инструментов заключается в построении перпендикуляра из точки на прямую и последующем откладывании равного расстояния.

1. Построим прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную прямой $b$. Для этого:

1.1. Проведем окружность с центром в точке $M$ такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух различных точках. Назовем эти точки $A$ и $B$.

1.2. Теперь построим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Проведем две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $AB$) с центрами в точках $A$ и $B$.

1.3. Эти две окружности пересекутся в двух точках. С помощью линейки проведем через них прямую. Эта прямая по построению является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Так как треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным ($AM=BM$ как радиусы первой окружности), то его высота, опущенная на основание $AB$, является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, построенный серединный перпендикуляр к $AB$ пройдет через вершину $M$. Обозначим эту прямую $l$. По построению $l \perp b$.

2. Найдем точку $M'$.

2.1. Отметим точку пересечения прямых $l$ и $b$ и назовем ее $H$. Эта точка является основанием перпендикуляра, опущенного из $M$ на $b$.

2.2. Циркулем измерим расстояние от точки $M$ до точки $H$ (длину отрезка $MH$).

2.3. Отложим это же расстояние на прямой $l$ от точки $H$, но в противоположную сторону от точки $M$. Полученная точка и будет искомой точкой $M'$.

Таким образом, точка $M'$ лежит на перпендикуляре к прямой $b$, проходящем через $M$, и на том же расстоянии от $b$, что и $M$, но с другой стороны. Следовательно, $M'$ симметрична $M$ относительно $b$.

Ответ: Искомая точка $M'$ строится путем проведения перпендикуляра из точки $M$ к прямой $b$ и откладывания на нем от точки их пересечения $H$ отрезка $HM'$, равного отрезку $MH$.

б) с помощью одного циркуля?

Построение точки, симметричной данной относительно прямой, возможно и с использованием только одного циркуля. Это одна из классических задач геометрии построений (задачи Маскерони). Построение выполняется в несколько шагов:

1. Установим ножку циркуля в точку $M$ и проведем окружность произвольного, но достаточного радиуса, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух точках. Назовем эти точки пересечения $A$ и $B$.

2. Не меняя раствора циркуля (или установив его равным расстоянию $AM$), проведем вторую окружность с центром в точке $A$. Эта окружность, очевидно, пройдет через точку $M$.

3. Аналогично, проведем третью окружность с тем же радиусом (равным $BM$, что то же самое, что и $AM$) с центром в точке $B$. Эта окружность также пройдет через точку $M$.

4. Две последние окружности (с центрами в $A$ и $B$) пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходная точка $M$. Вторая точка пересечения, лежащая по другую сторону от прямой $b$, и есть искомая симметричная точка $M'$.

Обоснование: по построению мы имеем $AM = BM$ (как радиусы первой окружности), $AM = AM'$ (как радиусы второй окружности) и $BM = BM'$ (как радиусы третьей окружности). Отсюда следует, что $AM = BM = AM' = BM'$. Четырехугольник $AMBM'$ является ромбом. В ромбе диагонали ($AB$ и $MM'$) взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой $b$, то прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$, что и означает, что точки $M$ и $M'$ симметричны относительно прямой $b$. Как видно, линейка для этого построения не использовалась.

Ответ: Искомая точка $M'$ находится как вторая точка пересечения двух окружностей с одинаковым радиусом, центры которых ($A$ и $B$) являются точками пересечения исходной прямой $b$ с произвольной окружностью, проведенной из центра $M$.