Номер 29, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 5. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 29, страница 114.

29 Будут ли равны расстояния между двумя точками А и В и симметричными им точками А₁ и В₁?

Да, расстояния будут равны. Любое симметричное преобразование (симметрия) является движением или, по-другому, изометрией. Основным свойством любого движения является сохранение расстояний между точками. Таким образом, расстояние между точками $A$ и $B$ будет в точности равно расстоянию между симметричными им точками $A_1$ и $B_1$.

Для большей наглядности рассмотрим два основных вида симметрии на плоскости: центральную и осевую.

Центральная симметрия (симметрия относительно точки)

Пусть точки $A_1$ и $B_1$ симметричны точкам $A$ и $B$ соответственно относительно некоторого центра $O$. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезков $AA_1$ и $BB_1$. Это означает, что $AO = OA_1$ и $BO = OB_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$. В них $AO = A_1O$ и $BO = B_1O$ (по определению симметрии), а угол $\angle AOB = \angle A_1OB_1$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$.

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

Пусть точки $A_1$ и $B_1$ симметричны точкам $A$ и $B$ соответственно относительно некоторой прямой $l$ (оси симметрии). Докажем равенство расстояний $AB$ и $A_1B_1$ с помощью метода координат. Выберем систему координат так, чтобы ось симметрии $l$ совпадала с осью ординат $Oy$.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, а точка $B$ — координаты $(x_B, y_B)$. При симметрии относительно оси $Oy$ абсцисса точки меняет знак, а ордината остается прежней. Тогда симметричная точка $A_1$ будет иметь координаты $(-x_A, y_A)$, а точка $B_1$ — координаты $(-x_B, y_B)$.

Найдем квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Теперь найдем квадрат расстояния между симметричными точками $A_1$ и $B_1$:

$A_1B_1^2 = (-x_B - (-x_A))^2 + (y_B - y_A)^2 = (-x_B + x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Так как $(-x_B + x_A)^2 = (-(x_B - x_A))^2 = (x_B - x_A)^2$, то получаем:

$A_1B_1^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Сравнивая выражения для $AB^2$ и $A_1B_1^2$, мы видим, что они равны. Следовательно, равны и сами расстояния: $AB = A_1B_1$.

Вывод: оба основных вида симметрии, как и любое другое движение (изометрия), сохраняют расстояние между точками.

Ответ: Да, расстояния между точками $A$ и $B$ и симметричными им точками $A_1$ и $B_1$ будут равны.