Номер 395, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 395, страница 114.

395 Прямые AB и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки AB и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.

Доказательство независимости периметра треугольника AMN от выбора точки X

Периметр треугольника $AMN$ равен сумме длин его сторон: $P_{AMN} = AM + AN + MN$. Касательная, проведенная через точку $X$, образует отрезок $MN$. Этот отрезок можно представить как сумму отрезков $MN = MX + XN$. Тогда периметр $P_{AMN} = AM + AN + MX + XN$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$, из которой проведены касательные к окружности в точках $B$ и $X$, справедливо равенство: $MB = MX$.

Аналогично для точки $N$, из которой проведены касательные в точках $C$ и $X$, справедливо равенство: $NC = NX$.

Подставим эти равенства в выражение для периметра треугольника $AMN$: $P_{AMN} = AM + AN + MB + NC$.

Перегруппируем слагаемые: $P_{AMN} = (AM + MB) + (AN + NC)$.

Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно, то $AM + MB = AB$ и $AN + NC = AC$. В результате получаем: $P_{AMN} = AB + AC$.

Так как исходные касательные $AB$ и $AC$ и точки касания $B$ и $C$ фиксированы, то длины отрезков $AB$ и $AC$ являются постоянными величинами. Также, по свойству касательных, проведенных из одной точки $A$, $AB = AC$. Следовательно, периметр треугольника $AMN$ не зависит от выбора точки $X$ на дуге $BC$.

Ответ: Периметр треугольника $AMN$ постоянен и равен $AB + AC$.

Доказательство независимости величины угла MON от выбора точки X

Соединим центр окружности $O$ с точками $M, N$ и $X$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle OMX$. В этих треугольниках сторона $OM$ — общая, стороны $OB$ и $OX$ равны как радиусы одной окружности, а стороны $MB$ и $MX$ равны как отрезки касательных к окружности, проведенных из точки $M$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle OMB \cong \triangle OMX$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BOM = \angle MOX$.

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle ONC$ и $\triangle ONX$. В них сторона $ON$ — общая, $OC=OX$ как радиусы, и $NC=NX$ как отрезки касательных из точки $N$. Таким образом, $\triangle ONC \cong \triangle ONX$ по трем сторонам. Следовательно, их соответствующие углы равны: $\angle CON = \angle NOX$.

Угол $\angle MON$ состоит из двух углов: $\angle MON = \angle MOX + \angle NOX$. Из доказанных выше равенств углов следует, что $OM$ является биссектрисой угла $\angle BOX$, а $ON$ — биссектрисой угла $\angle COX$. Это означает, что $\angle MOX = \frac{1}{2} \angle BOX$ и $\angle NOX = \frac{1}{2} \angle COX$.

Подставим эти выражения в формулу для угла $\angle MON$: $\angle MON = \frac{1}{2} \angle BOX + \frac{1}{2} \angle COX = \frac{1}{2} (\angle BOX + \angle COX)$.

Так как точка $X$ лежит на дуге $BC$, то угол $\angle BOC$ равен сумме углов $\angle BOX$ и $\angle COX$. Следовательно, мы получаем: $\angle MON = \frac{1}{2} \angle BOC$.

Поскольку точки $B, O, C$ фиксированы, то угол $\angle BOC$ является постоянной величиной. Значит, и половина этого угла, $\angle MON$, также является постоянной величиной и не зависит от выбора точки $X$ на дуге $BC$.

Ответ: Величина угла $\angle MON$ постоянна и равна половине величины угла $\angle BOC$.