Номер 28, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Вопросы для повторения к главе 5 - номер 28, страница 114.

Условие.

28 Если две прямые симметричны относительно некоторой прямой, может ли только одна из них пересекать ось симметрии? Ответ объясните.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Нет, не может.

Рассмотрим, почему это невозможно. Обозначим ось симметрии как прямую $s$, а две симметричные относительно нее прямые — как $a$ и $b$.

Предположим, что только одна из прямых, например прямая $a$, пересекает ось симметрии $s$. Пусть точка их пересечения будет $M$.

Из этого предположения следует два факта:
1. Точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$).
2. Точка $M$ принадлежит оси симметрии $s$ ($M \in s$).

По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии, при симметричном отображении переходит сама в себя (является неподвижной). Поскольку точка $M$ лежит на оси $s$, она симметрична самой себе относительно этой оси.

По условию задачи прямые $a$ и $b$ симметричны относительно прямой $s$. Это означает, что для каждой точки на прямой $a$ соответствующая ей симметричная точка лежит на прямой $b$. Точка $M$ принадлежит прямой $a$, следовательно, симметричная ей точка должна принадлежать прямой $b$.

Как мы установили, точка, симметричная точке $M$, — это сама точка $M$. Значит, точка $M$ должна принадлежать и прямой $b$ ($M \in b$).

Таким образом, мы пришли к выводу, что если прямая $a$ пересекает ось симметрии $s$ в точке $M$, то и прямая $b$ обязана пересекать ось симметрии $s$ в той же самой точке $M$. Это противоречит нашему изначальному предположению о том, что только одна прямая пересекает ось.

Следовательно, для двух различных прямых, симметричных относительно третьей, возможны только два варианта:

• Обе прямые пересекаются на оси симметрии.
• Обе прямые параллельны оси симметрии и не пересекают ее.

Ответ: Нет, не может. Если одна из симметричных прямых пересекает ось симметрии, то точка пересечения лежит на оси симметрии и, следовательно, симметрична самой себе. Так как эта точка принадлежит первой прямой, ее симметричный образ (она сама) должен принадлежать и второй прямой. Значит, вторая прямая также проходит через эту точку, то есть тоже пересекает ось симметрии в этой же точке.