Номер 22, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Вопросы для повторения к главе 5 - номер 22, страница 113.

Условие.

22 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника.

Формулировка теоремы: Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности такой окружности.

1. Существование.
Докажем, что существует точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Эта точка и будет являться центром описанной окружности. Проведем серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$ и серединный перпендикуляр $n$ к стороне $BC$.

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Следовательно, для любой точки на прямой $m$ выполняется равенство расстояний до вершин $A$ и $B$. Аналогично, для любой точки на прямой $n$ выполняется равенство расстояний до вершин $B$ и $C$.

Прямые, на которых лежат стороны $AB$ и $BC$, пересекаются в точке $B$ и не являются параллельными. Следовательно, и перпендикулярные им прямые $m$ и $n$ также не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой единственной точке. Обозначим эту точку $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m$, то она равноудалена от вершин $A$ и $B$, то есть $OA = OB$. Поскольку точка $O$ также лежит на серединном перпендикуляре $n$, то она равноудалена от вершин $B$ и $C$, то есть $OB = OC$.

Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$. Так как $OA = OC$, точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$, а значит, она лежит и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка равноудалена от всех трех вершин треугольника. Следовательно, окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB = OC$ проходит через все три вершины $A, B, C$. Эта окружность и является описанной около треугольника $ABC$. Существование доказано.

2. Единственность.
Докажем, что такая окружность может быть только одна. Предположим, что существует другая окружность, описанная около того же треугольника $ABC$. Пусть ее центр находится в точке $O'$, а радиус равен $R'$.

По определению, эта окружность также должна проходить через все три вершины треугольника, а значит, центр $O'$ должен быть равноудален от них: $O'A = O'B = O'C = R'$.

Из равенства $O'A = O'B$ следует, что точка $O'$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Из равенства $O'B = O'C$ следует, что точка $O'$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Следовательно, точка $O'$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$.

Как мы установили ранее, эти два серединных перпендикуляра пересекаются в единственной точке $O$. Значит, точка $O'$ должна совпадать с точкой $O$. Поскольку центры окружностей совпадают ($O' = O$), то и их радиусы равны ($R' = O'A = OA = R$). Так как центр и радиус окружности определены однозначно, то и сама описанная окружность единственна.

Ответ: Теорема гласит, что около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Ее центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Исходя из доказательства теоремы об описанной окружности, в частности из доказательства ее единственности, следует, что для любого треугольника существует только одна такая окружность. Ее центр однозначно определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров, а радиус — как расстояние от этого центра до любой из вершин треугольника. Поскольку эти элементы (центр и радиус) уникальны для каждого треугольника, то и сама окружность уникальна.

Ответ: Около данного треугольника можно описать только одну окружность.