Номер 26, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Вопросы для повторения к главе 5 - номер 26, страница 113.

Условие.

26 Как построить точку, симметричную данной, относительно заданной оси симметрии?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для построения точки, симметричной данной точке $A$ относительно заданной оси симметрии $l$, необходимо понимать, что такая точка (назовем ее $A'$) должна удовлетворять двум условиям:
1. Прямая, проходящая через точки $A$ и $A'$, должна быть перпендикулярна оси симметрии $l$.
2. Расстояние от точки $A$ до оси $l$ должно быть равно расстоянию от точки $A'$ до оси $l$.
Другими словами, ось симметрии $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.

Алгоритм построения зависит от того, где расположена исходная точка.

Если данная точка A лежит на оси симметрии l

В этом случае точка симметрична самой себе. Это означает, что искомая точка $A'$ совпадает с точкой $A$. Никаких построений выполнять не требуется.

Если данная точка A не лежит на оси симметрии l

Построение симметричной точки $A'$ выполняется с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:

1. Установите острие циркуля в точку $A$ и начертите дугу (или окружность) такого радиуса, чтобы она пересекла ось симметрии $l$ в двух разных точках. Назовем эти точки $P_1$ и $P_2$.
2. Теперь установите острие циркуля в точку $P_1$ и начертите дугу с противоположной стороны от оси $l$ (относительно точки $A$). Радиус этой дуги должен быть равен длине отрезка $AP_1$.
3. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $P_2$ и начертите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую (построенную в шаге 2).
4. Точка пересечения этих двух дуг и есть искомая точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно оси $l$.

Этот метод работает, потому что мы строим две равнобедренные треугольника $\triangle AP_1P_2$ и $\triangle A'P_1P_2$ с общим основанием $P_1P_2$. Так как $AP_1 = A'P_1$ и $AP_2 = A'P_2$, то прямая $P_1P_2$ (то есть ось $l$) является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$, что соответствует определению осевой симметрии.

Ответ:
Чтобы построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно оси $l$, нужно выполнить следующее:
1. Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то $A'$ совпадает с $A$.
2. Если точка $A$ не лежит на прямой $l$, нужно из точки $A$ провести дугу, пересекающую прямую $l$ в точках $P_1$ и $P_2$. Затем из точек $P_1$ и $P_2$ провести две дуги радиусом $AP_1$ с другой стороны от прямой $l$. Точка их пересечения и будет искомой точкой $A'$.