Номер 396, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 396, страница 114.

396* Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром AB.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AB$, необходимо и достаточно доказать, что угол $\angle AMB$ равен $90^\circ$. Это следует из свойства, согласно которому вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Пусть общая касательная к двум окружностям в точке $M$ и прямая $AB$ пересекаются в точке $K$. Эти касательные не могут быть параллельны (за исключением случая, когда окружности равны и касаются друг друга с двух сторон от прямой, соединяющей их центры), поэтому они обязательно пересекаются в некоторой точке $K$.

Рассмотрим первую окружность, которую прямая $AB$ касается в точке $A$. Отрезки $KA$ и $KM$ являются отрезками касательных, проведенных из одной и той же точки $K$ к этой окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны: $KA = KM$. Следовательно, треугольник $\triangle AKM$ является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle KAM = \angle KMA$.

Аналогично, рассмотрим вторую окружность, которую прямая $AB$ касается в точке $B$. Отрезки $KB$ и $KM$ являются отрезками касательных, проведенных из точки $K$ к этой окружности. Следовательно, их длины также равны: $KB = KM$. Треугольник $\triangle BKM$ также является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle KBM = \angle KMB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $\angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^\circ$.

Угол $\angle AMB$ состоит из двух углов: $\angle AMB = \angle KMA + \angle KMB$. Углы $\angle MAB$ и $\angle MBA$ — это те же углы, что и $\angle KAM$ и $\angle KBM$ соответственно. Подставим эти выражения в уравнение суммы углов треугольника $\triangle AMB$: $\angle KAM + \angle KBM + (\angle KMA + \angle KMB) = 180^\circ$.

Используя ранее установленные равенства углов при основании в равнобедренных треугольниках ($\angle KAM = \angle KMA$ и $\angle KBM = \angle KMB$), мы можем заменить углы $\angle KAM$ и $\angle KBM$ в уравнении: $\angle KMA + \angle KMB + (\angle KMA + \angle KMB) = 180^\circ$.

Это уравнение можно упростить: $2(\angle KMA + \angle KMB) = 180^\circ$. Отсюда следует: $\angle KMA + \angle KMB = 90^\circ$.

Так как $\angle AMB = \angle KMA + \angle KMB$, мы доказали, что $\angle AMB = 90^\circ$.

Ответ: Поскольку угол $\angle AMB$ является прямым ($90^\circ$), точка $M$ лежит на окружности, для которой отрезок $AB$ является диаметром. Что и требовалось доказать.