Номер 400, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 400, страница 114.

400 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О₁, и около него описана окружность с центром О₂. Докажите, что точки О₁ и О₂ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $?ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. $O?$ — это центр вписанной в него окружности (инцентр), а $O?$ — центр описанной около него окружности (циркумцентр).

Проведем из вершины $B$ медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и высотой, и биссектрисой угла при вершине.

Рассмотрим свойства отрезка $BM$:
1. Так как $BM$ — медиана, то точка $M$ является серединой основания $AC$.
2. Так как $BM$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$, то есть $BM \perp AC$.
3. Так как $BM$ — биссектриса, она делит угол $?ABC$ пополам.

Из свойств (1) и (2) следует, что прямая, содержащая отрезок $BM$, проходит через середину основания $AC$ и перпендикулярна ему. По определению, такая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.

Теперь докажем, что точки $O?$ и $O?$ лежат на этой прямой.

Центр вписанной окружности $O?$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BM$ является биссектрисой угла $?ABC$, то точка $O?$ лежит на прямой, содержащей $BM$.

Центр описанной окружности $O?$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Поскольку прямая, содержащая $BM$, является серединным перпендикуляром к стороне $AC$, то точка $O?$ также лежит на этой прямой.

Таким образом, обе точки $O?$ и $O?$ лежат на одной и той же прямой, которая является серединным перпендикуляром к основанию $AC$ равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.