Номер 405, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 405, страница 115.

405 Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. $AC$ — основание треугольника. Проведём из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AC$. По определению высоты, $BH$ перпендикулярна основанию $AC$, то есть $BH \perp AC$.

Нужно доказать, что прямая, содержащая высоту $BH$, является осью симметрии треугольника $ABC$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, которые образовались в результате проведения высоты $BH$. Так как $BH$ — высота, то углы $\angle AHB$ и $\angle CHB$ являются прямыми: $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ — прямоугольные.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. $AB = BC$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный. Эти стороны являются гипотенузами в треугольниках $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.
2. $BH$ — общая сторона для обоих треугольников, являющаяся их катетом.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников ($\triangle ABH \cong \triangle CBH$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их катеты $AH$ и $CH$ ($AH = CH$) и углы $\angle ABH$ и $\angle CBH$ ($\angle ABH = \angle CBH$). Равенство отрезков $AH$ и $CH$ означает, что высота $BH$ является также и медианой, а равенство углов $\angle ABH$ и $\angle CBH$ означает, что она является и биссектрисой.

Чтобы доказать, что прямая $BH$ является осью симметрии, нужно показать, что при симметричном отражении относительно этой прямой треугольник $ABC$ переходит сам в себя. Рассмотрим такое отражение:

- Точка $B$ лежит на прямой $BH$, поэтому при симметрии она отображается сама на себя.
- Аналогично, точка $H$ лежит на прямой $BH$ и отображается сама на себя.
- Так как прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BH$ и, как мы доказали, $AH = CH$, то точка $A$ при симметрии относительно прямой $BH$ отображается в точку $C$, а точка $C$, в свою очередь, отображается в точку $A$.

Следовательно, при симметрии относительно прямой $BH$ вершины треугольника $ABC$ переходят в вершины этого же треугольника ($A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow B$). Это означает, что отрезки, образующие треугольник, также переходят друг в друга: отрезок $AB$ переходит в отрезок $CB$, а отрезок $BC$ — в отрезок $BA$. Основание $AC$ переходит само в себя. Таким образом, весь треугольник $ABC$ отображается сам на себя.

По определению, прямая, относительно которой фигура симметрична самой себе, является её осью симметрии. Значит, прямая, содержащая высоту $BH$, является осью симметрии равнобедренного треугольника $ABC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. При симметрии относительно этой прямой каждая вершина треугольника отображается в одну из вершин этого же треугольника, следовательно, весь треугольник отображается сам на себя. Это по определению означает, что данная прямая является его осью симметрии.