Номер 410, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 410, страница 115.

410 Даны три прямые a, b, p. а) Постройте прямую b₁, симметричную прямой b относительно прямой p. б) Пользуясь прямой b₁, постройте отрезок так, чтобы его концы лежали соответственно на прямых a и b и чтобы прямая p была осью симметрии отрезка.

а)

Для построения прямой $b_1$, симметричной прямой $b$ относительно прямой $p$, необходимо найти точки, симметричные двум различным точкам на прямой $b$ относительно прямой $p$. Прямая, проходящая через эти две новые точки, и будет искомой прямой $b_1$.

Алгоритм построения:

1. Выберем на прямой $b$ две произвольные различные точки, назовем их $X$ и $Y$.

2. Построим точку $X_1$, симметричную точке $X$ относительно прямой $p$. Для этого нужно провести через точку $X$ прямую, перпендикулярную прямой $p$. Пусть $O_X$ — точка их пересечения. На этой перпендикулярной прямой, на продолжении отрезка $XO_X$ за точку $O_X$, отложим отрезок $O_X X_1$, равный по длине отрезку $XO_X$. Точка $X_1$ и будет симметрична точке $X$.

3. Аналогичным образом построим точку $Y_1$, симметричную точке $Y$ относительно прямой $p$.

4. Проведем прямую через точки $X_1$ и $Y_1$. Эта прямая и есть искомая прямая $b_1$.

Примечание: Если прямая $b$ пересекает ось симметрии $p$ в некоторой точке $K$, то эта точка при симметрии отображается сама в себя, то есть $K$ принадлежит и прямой $b_1$. В этом случае для построения $b_1$ достаточно выбрать на прямой $b$ лишь одну произвольную точку $X$ (отличную от $K$), построить ее симметричный образ $X_1$ и провести прямую через точки $K$ и $X_1$.

Ответ: Искомая прямая $b_1$ строится как прямая, проходящая через точки $X_1$ и $Y_1$, которые симметричны двум произвольным точкам $X$ и $Y$ на прямой $b$ относительно прямой $p$.

б)

Пусть искомый отрезок — это $MN$, где его концы лежат на заданных прямых: $M \in a$ и $N \in b$. По условию, прямая $p$ является осью симметрии отрезка $MN$. Это означает, что точки $M$ и $N$ симметричны друг другу относительно прямой $p$.

Из определения осевой симметрии следует, что если точка $M$ симметрична точке $N$ относительно прямой $p$, и точка $N$ лежит на прямой $b$, то точка $M$ обязана лежать на прямой $b_1$, которая симметрична прямой $b$ относительно $p$. Прямую $b_1$ мы построили в пункте а).

Таким образом, для нахождения точки $M$ мы имеем два условия: она должна лежать на прямой $a$ (согласно условию задачи) и на прямой $b_1$ (как следует из свойства симметрии). Следовательно, точка $M$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b_1$. Найдя точку $M$, мы можем построить симметричную ей точку $N$, которая будет вторым концом отрезка.

Алгоритм построения:

1. Построить прямую $b_1$, симметричную прямой $b$ относительно прямой $p$ (как описано в пункте а)).

2. Найти точку пересечения прямых $a$ и $b_1$. Обозначим эту точку $M$. Это один из концов искомого отрезка.

3. Построить точку $N$, симметричную точке $M$ относительно прямой $p$. Точка $N$ будет вторым концом отрезка и будет лежать на прямой $b$.

4. Соединить точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ — искомый.

Данное построение приводит к единственному решению, если прямые $a$ и $b_1$ пересекаются в одной точке. Если прямые $a$ и $b_1$ параллельны, то точка $M$ не существует, и задача не имеет решений. Если прямые $a$ и $b_1$ совпадают, задача имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Искомый отрезок $MN$ строится следующим образом: один его конец, точка $M$, находится как пересечение прямой $a$ и прямой $b_1$ (которая симметрична прямой $b$ относительно $p$). Второй конец, точка $N$, строится как точка, симметричная точке $M$ относительно прямой $p$.