Номер 413, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 413, страница 115.

413 Пусть а — число, выражающее длину отрезка AB при единице измерения CD, а b — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения AB. Как связаны между собой числа a и b?

Для решения этой задачи введем обозначения для физических длин отрезков. Пусть $L_{AB}$ — это абсолютная длина отрезка AB, а $L_{CD}$ — абсолютная длина отрезка CD. Эти длины являются постоянными величинами, не зависящими от выбранной единицы измерения.

По условию, $a$ — это число, выражающее длину отрезка AB, если за единицу измерения взять отрезок CD. Это означает, что длина отрезка AB равна произведению числа $a$ на длину отрезка CD. Запишем это в виде формулы:

$L_{AB} = a \cdot L_{CD}$

Аналогично, $b$ — это число, выражающее длину отрезка CD, если за единицу измерения взять отрезок AB. Это означает, что длина отрезка CD равна произведению числа $b$ на длину отрезка AB. Запишем это в виде второй формулы:

$L_{CD} = b \cdot L_{AB}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Чтобы найти связь между числами $a$ и $b$, мы можем подставить второе уравнение в первое. Заменим $L_{CD}$ в первом уравнении на его выражение из второго уравнения:

$L_{AB} = a \cdot (b \cdot L_{AB})$

Раскроем скобки в правой части:

$L_{AB} = (a \cdot b) \cdot L_{AB}$

Поскольку $AB$ является отрезком, его длина $L_{AB}$ — положительное число, не равное нулю ($L_{AB} > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $L_{AB}$, не нарушая равенства:

$\frac{L_{AB}}{L_{AB}} = a \cdot b$

$1 = a \cdot b$

Таким образом, мы установили, что произведение чисел $a$ и $b$ равно единице. Это означает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно обратными.

Ответ: Числа $a$ и $b$ связаны соотношением $a \cdot b = 1$.