Номер 406, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 406, страница 115.

406 Точка А расположена во внутренней области угла CDE. Точка А₁ симметрична точке А относительно прямой DE, и точка A₂ симметрична точке А относительно прямой DC. Найдите угол CDE, если ∠А₁DE = 24°, ∠A₂DC = 48°.

По определению осевой симметрии, если точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $DE$, то эта прямая является осью симметрии. Для любой точки $D$, лежащей на оси симметрии, расстояния до симметричных точек равны ($DA = DA_1$), а сама ось является биссектрисой угла $?ADA_1$.

Следовательно, прямая $DE$ делит угол $?ADA_1$ на два равных угла: $?ADE = ?A_1DE$.

Согласно условию задачи, $?A_1DE = 24°$. Отсюда следует, что $?ADE = 24°$.

Аналогично рассмотрим второе условие. Точка $A_2$ симметрична точке $A$ относительно прямой $DC$. Это означает, что прямая $DC$ является биссектрисой угла $?ADA_2$.

Следовательно, $?ADC = ?A_2DC$.

Согласно условию задачи, $?A_2DC = 48°$. Отсюда следует, что $?ADC = 48°$.

Искомый угол $CDE$ состоит из двух углов, $?ADC$ и $?ADE$, поскольку точка $A$ (и, следовательно, отрезки $DA$, $DA_1$, $DA_2$) расположена во внутренней области угла $CDE$.

Для нахождения величины угла $CDE$ сложим величины составляющих его углов:

$?CDE = ?ADC + ?ADE$

$?CDE = 48° + 24° = 72°$

Ответ: $72°$.