Страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

403 Докажите, что прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой a, параллельны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами осевой симметрии и признаками параллельности прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $b$ и $c$ (то есть $b \parallel c$) и прямая $a$, которая является осью симметрии. Прямая $b'$ — это образ прямой $b$ при симметрии относительно прямой $a$. Прямая $c'$ — это образ прямой $c$ при той же симметрии. Нам нужно доказать, что $b' \parallel c'$.

Доказательство можно провести, рассмотрев два основных случая взаимного расположения прямых.

1. Первый случай: ось симметрии $a$ параллельна данным прямым $b$ и $c$.

По свойству осевой симметрии, прямая, параллельная оси, отображается на прямую, также параллельную оси. Поскольку $b \parallel a$, ее образ $b'$ также будет параллелен $a$ ($b' \parallel a$). Аналогично, поскольку $c \parallel a$, ее образ $c'$ также будет параллелен $a$ ($c' \parallel a$). Из $b' \parallel a$ и $c' \parallel a$ по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $b' \parallel c'$.

2. Второй случай: ось симметрии $a$ пересекает данные прямые $b$ и $c$.

Так как $b \parallel c$, то прямая $a$ является секущей для этих прямых. Осевая симметрия является движением, а значит, сохраняет углы между прямыми. Пусть $\alpha$ — один из углов, образованных при пересечении прямой $b$ и секущей $a$. Так как $b \parallel c$, то соответственный ему угол, образованный при пересечении прямой $c$ и секущей $a$, также равен $\alpha$. При симметрии относительно прямой $a$, прямая $b$ переходит в прямую $b'$, а прямая $c$ — в прямую $c'$. Поскольку симметрия сохраняет углы, угол между образом $b'$ и осью $a$ будет равен углу между $b$ и $a$. Следовательно, один из соответственных углов между $b'$ и $a$ будет равен $\alpha$. Аналогично, угол между образом $c'$ и осью $a$ будет равен углу между $c$ и $a$, то есть также $\alpha$. Теперь рассмотрим прямые $b'$ и $c'$ и секущую $a$. Соответственные углы, которые они образуют с секущей $a$, равны $\alpha$. По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, $b' \parallel c'$.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой, параллельны.

404 Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой a, перпендикулярны.

Пусть даны две перпендикулярные прямые $b$ и $c$, и прямая $a$, относительно которой производится симметрия. Пусть прямая $b'$ симметрична прямой $b$ относительно $a$, а прямая $c'$ симметрична прямой $c$ относительно $a$. Нам нужно доказать, что $b' \perp c'$.

Доказательство основано на свойстве осевой симметрии. Осевая симметрия является движением. Одним из фундаментальных свойств любого движения является сохранение углов между фигурами, в частности, между прямыми.

По условию, прямые $b$ и $c$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$. Обозначим угол между прямыми $x$ и $y$ как $\angle(x, y)$. Таким образом, $\angle(b, c) = 90^\circ$.

Прямая $b'$ является образом прямой $b$ при осевой симметрии относительно прямой $a$. Аналогично, $c'$ является образом $c$. Так как осевая симметрия сохраняет углы, угол между образами прямых ($b'$ и $c'$) будет равен углу между их прообразами ($b$ и $c$).

Следовательно, $\angle(b', c') = \angle(b, c)$.

Поскольку $\angle(b, c) = 90^\circ$, то и $\angle(b', c') = 90^\circ$.

Если угол между прямыми $b'$ и $c'$ равен $90^\circ$, то по определению эти прямые перпендикулярны, то есть $b' \perp c'$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

405 Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. $AC$ — основание треугольника. Проведём из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AC$. По определению высоты, $BH$ перпендикулярна основанию $AC$, то есть $BH \perp AC$.

Нужно доказать, что прямая, содержащая высоту $BH$, является осью симметрии треугольника $ABC$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, которые образовались в результате проведения высоты $BH$. Так как $BH$ — высота, то углы $\angle AHB$ и $\angle CHB$ являются прямыми: $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ — прямоугольные.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. $AB = BC$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный. Эти стороны являются гипотенузами в треугольниках $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.
2. $BH$ — общая сторона для обоих треугольников, являющаяся их катетом.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников ($\triangle ABH \cong \triangle CBH$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их катеты $AH$ и $CH$ ($AH = CH$) и углы $\angle ABH$ и $\angle CBH$ ($\angle ABH = \angle CBH$). Равенство отрезков $AH$ и $CH$ означает, что высота $BH$ является также и медианой, а равенство углов $\angle ABH$ и $\angle CBH$ означает, что она является и биссектрисой.

Чтобы доказать, что прямая $BH$ является осью симметрии, нужно показать, что при симметричном отражении относительно этой прямой треугольник $ABC$ переходит сам в себя. Рассмотрим такое отражение:

- Точка $B$ лежит на прямой $BH$, поэтому при симметрии она отображается сама на себя.
- Аналогично, точка $H$ лежит на прямой $BH$ и отображается сама на себя.
- Так как прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BH$ и, как мы доказали, $AH = CH$, то точка $A$ при симметрии относительно прямой $BH$ отображается в точку $C$, а точка $C$, в свою очередь, отображается в точку $A$.

Следовательно, при симметрии относительно прямой $BH$ вершины треугольника $ABC$ переходят в вершины этого же треугольника ($A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow B$). Это означает, что отрезки, образующие треугольник, также переходят друг в друга: отрезок $AB$ переходит в отрезок $CB$, а отрезок $BC$ — в отрезок $BA$. Основание $AC$ переходит само в себя. Таким образом, весь треугольник $ABC$ отображается сам на себя.

По определению, прямая, относительно которой фигура симметрична самой себе, является её осью симметрии. Значит, прямая, содержащая высоту $BH$, является осью симметрии равнобедренного треугольника $ABC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. При симметрии относительно этой прямой каждая вершина треугольника отображается в одну из вершин этого же треугольника, следовательно, весь треугольник отображается сам на себя. Это по определению означает, что данная прямая является его осью симметрии.

406 Точка А расположена во внутренней области угла CDE. Точка А₁ симметрична точке А относительно прямой DE, и точка A₂ симметрична точке А относительно прямой DC. Найдите угол CDE, если ∠А₁DE = 24°, ∠A₂DC = 48°.

По определению осевой симметрии, если точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $DE$, то эта прямая является осью симметрии. Для любой точки $D$, лежащей на оси симметрии, расстояния до симметричных точек равны ($DA = DA_1$), а сама ось является биссектрисой угла $?ADA_1$.

Следовательно, прямая $DE$ делит угол $?ADA_1$ на два равных угла: $?ADE = ?A_1DE$.

Согласно условию задачи, $?A_1DE = 24°$. Отсюда следует, что $?ADE = 24°$.

Аналогично рассмотрим второе условие. Точка $A_2$ симметрична точке $A$ относительно прямой $DC$. Это означает, что прямая $DC$ является биссектрисой угла $?ADA_2$.

Следовательно, $?ADC = ?A_2DC$.

Согласно условию задачи, $?A_2DC = 48°$. Отсюда следует, что $?ADC = 48°$.

Искомый угол $CDE$ состоит из двух углов, $?ADC$ и $?ADE$, поскольку точка $A$ (и, следовательно, отрезки $DA$, $DA_1$, $DA_2$) расположена во внутренней области угла $CDE$.

Для нахождения величины угла $CDE$ сложим величины составляющих его углов:

$?CDE = ?ADC + ?ADE$

$?CDE = 48° + 24° = 72°$

Ответ: $72°$.

407 Докажите, что любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра $O$ равно радиусу $R$.

Рассмотрим произвольную прямую $l$, проходящую через центр окружности $O$. Нам нужно доказать, что эта прямая является осью симметрии окружности.

Ось симметрии фигуры — это такая прямая, что при симметричном отражении относительно неё фигура переходит сама в себя. Это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей окружности, точка $A'$, симметричная ей относительно прямой $l$, также должна принадлежать этой окружности.

Возьмём произвольную точку $A$ на окружности $\omega$. По определению окружности, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $OA = R$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $A$.

Случай 1: Точка $A$ лежит на прямой $l$.
Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то при отражении она переходит сама в себя, то есть точка, ей симметричная, совпадает с ней. Поскольку точка $A$ принадлежит окружности, то и симметричная ей точка также принадлежит ей.

Случай 2: Точка $A$ не лежит на прямой $l$.
Пусть точка $A'$ — это точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $l$. По определению осевой симметрии, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это значит, что если $H$ — точка пересечения отрезка $AA'$ и прямой $l$, то $AH = A'H$ и отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$ ($AA' \perp l$).

Рассмотрим треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHA'$. В этих треугольниках: сторона $OH$ является общей; углы $\angle OHA$ и $\angle OHA'$ прямые, так как $l \perp AA'$; катеты $AH$ и $A'H$ равны по свойству симметрии. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHA'$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $OA' = OA$.

Поскольку точка $A$ лежит на окружности, её расстояние до центра равно радиусу: $OA = R$. Из этого следует, что и $OA' = R$.

Так как расстояние от точки $A'$ до центра окружности $O$ равно радиусу $R$, точка $A'$ по определению также принадлежит окружности $\omega$.

Таким образом, мы показали, что для любой точки $A$ на окружности симметричная ей относительно прямой $l$ точка $A'$ также лежит на этой окружности. Это означает, что при симметрии относительно прямой $l$ окружность переходит сама в себя. Следовательно, любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой точки на окружности точка, симметричная ей относительно прямой, проходящей через центр, также лежит на окружности, так как она находится на том же расстоянии (равном радиусу) от центра. Это по определению означает, что такая прямая является осью симметрии.

408 Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, пересекающиеся в точке $P$. По условию, точка $P$ принадлежит некоторому диаметру, который мы обозначим как $MN$.

Дано:
1. Окружность с центром $O$.
2. Хорды $AB$ и $CD$, причем $AB = CD$.
3. $P = AB \cap CD$.
4. $MN$ — диаметр, $P \in MN$.

Доказать:
Хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно прямой $MN$.

Доказательство:

1. Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$.

2. В окружности равные хорды равноудалены от центра. Так как по условию $AB = CD$, то расстояния от центра $O$ до этих хорд равны, то есть $OH = OK$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle OHP$ и $\triangle OKP$.

• Они оба прямоугольные, так как $\angle OHP = 90^\circ$ и $\angle OKP = 90^\circ$ по построению.
• Сторона $OP$ является их общей гипотенузой.
• Катеты $OH$ и $OK$ равны, как было показано в пункте 2.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHP$ и $\triangle OKP$ равны по гипотенузе и катету.

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle OPH = \angle OPK$.

5. Угол $\angle OPH$ — это угол между прямой, содержащей диаметр ($MN$), и хордой $AB$. Угол $\angle OPK$ — это угол между прямой, содержащей диаметр ($MN$), и хордой $CD$. Таким образом, мы доказали, что хорды $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$.

6. Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это отображение плоскости на себя, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.
Рассмотрим симметрию относительно прямой $MN$:

• Окружность отображается сама на себя, так как ее центр $O$ лежит на оси симметрии $MN$.
• Прямая, содержащая хорду $AB$, при симметрии относительно $MN$ перейдет в прямую, которая также проходит через точку $P$ (так как $P$ лежит на оси симметрии) и образует с прямой $MN$ такой же угол, что и прямая $AB$. Так как $\angle OPH = \angle OPK$, то образом прямой $AB$ будет прямая $CD$.
• Поскольку концы хорды $AB$ лежат на окружности, то их образы при симметрии также будут лежать на окружности (которая отображается на себя). Это означает, что образом хорды $AB$ является отрезок, концы которого лежат на окружности и который принадлежит прямой $CD$. Таким отрезком является хорда $CD$.

Таким образом, хорда $AB$ при симметрии относительно прямой $MN$ отображается на хорду $CD$. Это по определению означает, что хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно прямой, содержащей диаметр $MN$.

Ответ: Утверждение доказано. Хорды симметричны относительно прямой, содержащей диаметр, на котором лежит точка их пересечения.

409 Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.

Ось симметрии геометрической фигуры — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для треугольника ось симметрии может проходить только через вершину и середину противоположной стороны. Таким образом, если у треугольника есть ось симметрии, он является равнобедренным, а эта ось является одновременно его медианой, высотой и биссектрисой, проведенной к основанию.

Пусть дан треугольник $ABC$, и он имеет две оси симметрии.

1. Пусть первая ось симметрии проходит через вершину $A$. Это означает, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$. Отсюда следует равенство боковых сторон: $AB = AC$.

2. Пусть вторая ось симметрии проходит через вершину $B$ (она не может совпадать с первой, так как оси симметрии треугольника пересекаются в одной точке). Это означает, что треугольник $ABC$ также является равнобедренным, но уже с основанием $AC$. Отсюда следует равенство боковых сторон: $BA = BC$.

Из полученных равенств $AB = AC$ и $AB = BC$ мы можем сделать вывод, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = AC = BC$.

Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним.

Теперь необходимо доказать, что у такого треугольника есть и третья ось симметрии. Мы уже знаем, что прямые, содержащие медианы (они же высоты и биссектрисы) из вершин $A$ и $B$, являются осями симметрии. Рассмотрим прямую, проходящую через третью вершину $C$ и середину противоположной стороны $AB$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, то выполняется равенство $CA = CB$. Это означает, что он является равнобедренным и относительно вершины $C$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, является также высотой и биссектрисой, а содержащая её прямая — осью симметрии.

Следовательно, прямая, проходящая через вершину $C$ и середину стороны $AB$, является третьей осью симметрии треугольника.

Таким образом, если треугольник имеет две оси симметрии, он обязательно является равносторонним, а равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.

Ответ: Что и требовалось доказать.

410 Даны три прямые a, b, p. а) Постройте прямую b₁, симметричную прямой b относительно прямой p. б) Пользуясь прямой b₁, постройте отрезок так, чтобы его концы лежали соответственно на прямых a и b и чтобы прямая p была осью симметрии отрезка.

Для построения прямой $b_1$, симметричной прямой $b$ относительно прямой $p$, необходимо найти точки, симметричные двум различным точкам на прямой $b$ относительно прямой $p$. Прямая, проходящая через эти две новые точки, и будет искомой прямой $b_1$.

Алгоритм построения:

1. Выберем на прямой $b$ две произвольные различные точки, назовем их $X$ и $Y$.

2. Построим точку $X_1$, симметричную точке $X$ относительно прямой $p$. Для этого нужно провести через точку $X$ прямую, перпендикулярную прямой $p$. Пусть $O_X$ — точка их пересечения. На этой перпендикулярной прямой, на продолжении отрезка $XO_X$ за точку $O_X$, отложим отрезок $O_X X_1$, равный по длине отрезку $XO_X$. Точка $X_1$ и будет симметрична точке $X$.

3. Аналогичным образом построим точку $Y_1$, симметричную точке $Y$ относительно прямой $p$.

4. Проведем прямую через точки $X_1$ и $Y_1$. Эта прямая и есть искомая прямая $b_1$.

Примечание: Если прямая $b$ пересекает ось симметрии $p$ в некоторой точке $K$, то эта точка при симметрии отображается сама в себя, то есть $K$ принадлежит и прямой $b_1$. В этом случае для построения $b_1$ достаточно выбрать на прямой $b$ лишь одну произвольную точку $X$ (отличную от $K$), построить ее симметричный образ $X_1$ и провести прямую через точки $K$ и $X_1$.

Ответ: Искомая прямая $b_1$ строится как прямая, проходящая через точки $X_1$ и $Y_1$, которые симметричны двум произвольным точкам $X$ и $Y$ на прямой $b$ относительно прямой $p$.

Пусть искомый отрезок — это $MN$, где его концы лежат на заданных прямых: $M \in a$ и $N \in b$. По условию, прямая $p$ является осью симметрии отрезка $MN$. Это означает, что точки $M$ и $N$ симметричны друг другу относительно прямой $p$.

Из определения осевой симметрии следует, что если точка $M$ симметрична точке $N$ относительно прямой $p$, и точка $N$ лежит на прямой $b$, то точка $M$ обязана лежать на прямой $b_1$, которая симметрична прямой $b$ относительно $p$. Прямую $b_1$ мы построили в пункте а).

Таким образом, для нахождения точки $M$ мы имеем два условия: она должна лежать на прямой $a$ (согласно условию задачи) и на прямой $b_1$ (как следует из свойства симметрии). Следовательно, точка $M$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b_1$. Найдя точку $M$, мы можем построить симметричную ей точку $N$, которая будет вторым концом отрезка.

Алгоритм построения:

1. Построить прямую $b_1$, симметричную прямой $b$ относительно прямой $p$ (как описано в пункте а)).

2. Найти точку пересечения прямых $a$ и $b_1$. Обозначим эту точку $M$. Это один из концов искомого отрезка.

3. Построить точку $N$, симметричную точке $M$ относительно прямой $p$. Точка $N$ будет вторым концом отрезка и будет лежать на прямой $b$.

4. Соединить точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ — искомый.

Данное построение приводит к единственному решению, если прямые $a$ и $b_1$ пересекаются в одной точке. Если прямые $a$ и $b_1$ параллельны, то точка $M$ не существует, и задача не имеет решений. Если прямые $a$ и $b_1$ совпадают, задача имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Искомый отрезок $MN$ строится следующим образом: один его конец, точка $M$, находится как пересечение прямой $a$ и прямой $b_1$ (которая симметрична прямой $b$ относительно $p$). Второй конец, точка $N$, строится как точка, симметричная точке $M$ относительно прямой $p$.

411 Даны прямые a, b и окружность с центром О. а) Постройте прямую a₁, симметричную прямой а относительно прямой b. б) Используя прямую a₁, постройте отрезок так, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой а и данной окружности.

а) Для построения прямой $a_1$, симметричной прямой $a$ относительно прямой $b$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбираем на прямой $a$ две произвольные различные точки, назовем их $A$ и $B$.

2. Строим точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно прямой $b$. Для этого:

- Проводим через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Пусть точка пересечения этой прямой с прямой $b$ будет $H_A$.

- На перпендикулярной прямой откладываем от точки $H_A$ отрезок $H_A A_1$, равный отрезку $A H_A$, так, чтобы точки $A$ и $A_1$ лежали по разные стороны от прямой $b$. Точка $A_1$ является симметричной точке $A$.

3. Аналогично строим точку $B_1$, симметричную точке $B$ относительно прямой $b$. Для этого:

- Проводим через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Пусть точка пересечения этой прямой с прямой $b$ будет $H_B$.

- На этой перпендикулярной прямой откладываем от точки $H_B$ отрезок $H_B B_1$, равный отрезку $B H_B$, так, чтобы точки $B$ и $B_1$ лежали по разные стороны от прямой $b$. Точка $B_1$ является симметричной точке $B$.

4. Проводим прямую через построенные точки $A_1$ и $B_1$. Эта прямая и будет искомой прямой $a_1$.

Примечание: Если прямая $a$ пересекает прямую $b$ в точке $M$, то точка $M$ симметрична самой себе. В этом случае достаточно выбрать на прямой $a$ только одну точку $A$ (отличную от $M$), построить симметричную ей точку $A_1$ и провести прямую через точки $M$ и $A_1$.

Ответ: Прямая $a_1$ строится путем нахождения симметричных образов двух точек прямой $a$ относительно прямой $b$ и проведения через них новой прямой.

б) Пусть искомый отрезок – это $XY$, где точка $X$ лежит на прямой $a$, а точка $Y$ лежит на данной окружности с центром $O$. По условию, прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $XY$.

Из определения серединного перпендикуляра следует, что точки $X$ и $Y$ симметричны относительно прямой $b$.

Так как точка $X$ лежит на прямой $a$, а точка $Y$ симметрична ей относительно прямой $b$, то точка $Y$ должна лежать на прямой $a_1$, которая симметрична прямой $a$ относительно прямой $b$ (построена в пункте а)).

Таким образом, точка $Y$ должна удовлетворять двум условиям одновременно:

1. Точка $Y$ лежит на данной окружности.

2. Точка $Y$ лежит на прямой $a_1$.

Следовательно, точка $Y$ является точкой пересечения прямой $a_1$ и данной окружности. Отсюда вытекает следующий алгоритм построения:

1. Строим прямую $a_1$, симметричную прямой $a$ относительно прямой $b$, как это описано в пункте а).

2. Находим точки пересечения прямой $a_1$ с данной окружностью. Возможны три случая:

- Прямая $a_1$ не пересекает окружность. В этом случае задача не имеет решений.

- Прямая $a_1$ касается окружности в одной точке. Назовем эту точку $Y$. В этом случае задача имеет одно решение.

- Прямая $a_1$ пересекает окружность в двух точках. Назовем их $Y_1$ и $Y_2$. В этом случае задача имеет два решения.

3. Для каждой найденной точки $Y$ (или $Y_1, Y_2$) строим соответствующую ей точку $X$ (или $X_1, X_2$). Для этого находим точку, симметричную $Y$ относительно прямой $b$. Проводим через $Y$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Точка пересечения этой перпендикулярной прямой с исходной прямой $a$ и будет искомой точкой $X$.

4. Соединяем точки $X$ и $Y$ (или $X_1$ и $Y_1$, $X_2$ и $Y_2$). Полученный отрезок (или отрезки) является искомым.

Ответ: Искомый отрезок $XY$ строится следующим образом: строится прямая $a_1$, симметричная прямой $a$ относительно $b$. Точка $Y$ находится как пересечение прямой $a_1$ и данной окружности. Точка $X$ находится как точка, симметричная точке $Y$ относительно прямой $b$. В зависимости от количества точек пересечения $a_1$ и окружности, задача может иметь ноль, одно или два решения.

412 Постройте оси симметрии двух пересекающихся прямых.

Решение:

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых, имеет две оси симметрии. Этими осями являются прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$. При пересечении они образуют две пары равных вертикальных углов.

Для построения осей симметрии с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить биссектрису одного из углов, образованных пересечением прямых $a$ и $b$. Назовем эту биссектрису $l_1$.
   • С центром в точке пересечения $O$ проведем окружность произвольного радиуса.
   • Точки пересечения этой окружности с прямыми $a$ и $b$ обозначим как $A$ и $B$ соответственно.
   • Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги окружностей одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины отрезка $AB$) так, чтобы они пересеклись в некоторой точке $M$.
   • Проведем прямую через точки $O$ и $M$. Эта прямая $l_1$ и есть биссектриса угла $\angle AOB$.
2. Прямая $l_1$ является первой осью симметрии. При осевой симметрии относительно прямой $l_1$ луч $OA$ отображается на луч $OB$, а луч, противоположный $OA$ (на прямой $a$), — на луч, противоположный $OB$ (на прямой $b$). Таким образом, прямая $a$ отображается на прямую $b$, и наоборот. Следовательно, вся фигура, состоящая из двух прямых, отображается на себя.
3. Аналогично построим биссектрису $l_2$ для угла, смежного с $\angle AOB$. Эта прямая будет второй осью симметрии.

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Докажем это. Пусть один из смежных углов равен $2\alpha$, а другой — $2\beta$. Их сумма равна $180^\circ$: $2\alpha + 2\beta = 180^\circ$. Разделив обе части уравнения на 2, получим: $\alpha + \beta = 90^\circ$. Биссектрисы $l_1$ и $l_2$ делят эти углы пополам. Угол между биссектрисами как раз и будет равен $\alpha + \beta$. Таким образом, оси симметрии $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны друг другу. Это означает, что после построения первой оси $l_1$ вторую ось $l_2$ можно построить как прямую, проходящую через точку $O$ и перпендикулярную $l_1$.

Ответ: Осями симметрии двух пересекающихся прямых являются две взаимно перпендикулярные прямые, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

413 Пусть а — число, выражающее длину отрезка AB при единице измерения CD, а b — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения AB. Как связаны между собой числа a и b?

Для решения этой задачи введем обозначения для физических длин отрезков. Пусть $L_{AB}$ — это абсолютная длина отрезка AB, а $L_{CD}$ — абсолютная длина отрезка CD. Эти длины являются постоянными величинами, не зависящими от выбранной единицы измерения.

По условию, $a$ — это число, выражающее длину отрезка AB, если за единицу измерения взять отрезок CD. Это означает, что длина отрезка AB равна произведению числа $a$ на длину отрезка CD. Запишем это в виде формулы:

$L_{AB} = a \cdot L_{CD}$

Аналогично, $b$ — это число, выражающее длину отрезка CD, если за единицу измерения взять отрезок AB. Это означает, что длина отрезка CD равна произведению числа $b$ на длину отрезка AB. Запишем это в виде второй формулы:

$L_{CD} = b \cdot L_{AB}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Чтобы найти связь между числами $a$ и $b$, мы можем подставить второе уравнение в первое. Заменим $L_{CD}$ в первом уравнении на его выражение из второго уравнения:

$L_{AB} = a \cdot (b \cdot L_{AB})$

Раскроем скобки в правой части:

$L_{AB} = (a \cdot b) \cdot L_{AB}$

Поскольку $AB$ является отрезком, его длина $L_{AB}$ — положительное число, не равное нулю ($L_{AB} > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $L_{AB}$, не нарушая равенства:

$\frac{L_{AB}}{L_{AB}} = a \cdot b$

$1 = a \cdot b$

Таким образом, мы установили, что произведение чисел $a$ и $b$ равно единице. Это означает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно обратными.

Ответ: Числа $a$ и $b$ связаны соотношением $a \cdot b = 1$.

414 Длина отрезка AB при единице измерения Е₁F₁ выражается числом m, а при единице измерения E₂F₂ — числом n. Каким числом выражается длина отрезка Е₁F₁ при единице измерения E₂F₂?

Обозначим абсолютные длины отрезков как $|AB|$, $|E_1F_1|$ и $|E_2F_2|$.

По условию задачи, длина отрезка $AB$ при единице измерения $E_1F_1$ выражается числом $m$. Это означает, что длина отрезка $AB$ равна произведению числа $m$ на длину единичного отрезка $E_1F_1$. Математически это можно записать так: $|AB| = m \cdot |E_1F_1|$.

Аналогично, длина отрезка $AB$ при единице измерения $E_2F_2$ выражается числом $n$. Это означает: $|AB| = n \cdot |E_2F_2|$.

Поскольку левые части этих двух равенств равны (это длина одного и того же отрезка $AB$), мы можем приравнять их правые части: $m \cdot |E_1F_1| = n \cdot |E_2F_2|$.

Нам нужно найти, каким числом выражается длина отрезка $E_1F_1$ при единице измерения $E_2F_2$. Это число представляет собой отношение длины $|E_1F_1|$ к длине $|E_2F_2|$. Чтобы найти это отношение, выразим $|E_1F_1|$ из полученного равенства. Для этого разделим обе части равенства на $m$ (мы можем это сделать, так как $m \neq 0$, иначе длина отрезка $AB$ была бы равна нулю): $|E_1F_1| = \frac{n}{m} \cdot |E_2F_2|$.

Это равенство показывает, что длина отрезка $E_1F_1$ получается умножением длины единичного отрезка $E_2F_2$ на число $\frac{n}{m}$. Следовательно, длина отрезка $E_1F_1$, измеренная в единицах $E_2F_2$, и есть это число.

Ответ: $\frac{n}{m}$.