Страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

448 Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

Для решения данной задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $X$ должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Точка $X$ лежит на данной окружности.
2. Точка $X$ равноудалена от концов данного отрезка.

Первому условию удовлетворяют все точки данной окружности.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае — от концов отрезка), является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Пусть нам дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и некоторый отрезок $AB$.

Алгоритм построения:

1. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
   • С помощью циркуля построить две пересекающиеся дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AB$.
   • Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая и будет серединным перпендикуляром $m$ к отрезку $AB$.
2. Найти точки пересечения построенного серединного перпендикуляра $m$ и данной окружности $\omega$.

Точки, полученные в результате пересечения, будут являться искомыми, так как они принадлежат окружности $\omega$ и прямой $m$ одновременно.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Количество решений задачи равно количеству точек пересечения окружности $\omega$ и прямой $m$ (серединного перпендикуляра). Это количество зависит от их взаимного расположения. Пусть $R$ — радиус окружности $\omega$, а $d$ — расстояние от ее центра $O$ до прямой $m$.

Возможны три случая:

• Два решения. Если прямая $m$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса: $d < R$.
• Одно решение. Если прямая $m$ касается окружности $\omega$ (имеет с ней одну общую точку). Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d = R$.
• Нет решений. Если прямая $m$ и окружность $\omega$ не имеют общих точек. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса: $d > R$.

Ответ: Задача может иметь два, одно или ноль решений.

449 Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Через три данные точки проведите окружность.
Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$. Центр искомой окружности, точка $O$, должен быть равноудален от всех трех точек, то есть $OA = OB = OC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$).

Следовательно, центр окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Он лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$.
2. Он лежит на серединном перпендикуляре $n$ к отрезку $BC$.

Таким образом, центр окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Радиусом окружности будет расстояние от центра $O$ до любой из данных точек (например, $R = OA$).

Алгоритм построения:
1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
3. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.
4. Построить серединный перпендикуляр $n$ к отрезку $BC$.
5. Найти точку пересечения $O$ прямых $m$ и $n$. Эта точка будет центром искомой окружности.
6. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$ (или $OB$, или $OC$).

Ответ: Чтобы провести окружность через три данные точки $A$, $B$ и $C$, нужно найти точку пересечения $O$ серединных перпендикуляров к отрезкам $AB$ и $BC$. Эта точка будет центром окружности, а радиус будет равен расстоянию $OA$.

Всегда ли задача имеет решение?
Решение задачи, описанное выше, зависит от существования единственной точки пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Рассмотрим два случая расположения точек $A$, $B$ и $C$.

Случай 1: Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.
В этом случае точки образуют треугольник $ABC$. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ не параллельны (так как прямые $AB$ и $BC$ не параллельны и не совпадают), а значит, пересекаются в одной-единственной точке $O$. Эта точка и будет центром единственной окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Таким образом, задача имеет единственное решение.

Случай 2: Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.
В этом случае прямые, содержащие отрезки $AB$ и $BC$, совпадают. Серединные перпендикуляры $m$ и $n$ к отрезкам $AB$ и $BC$ будут оба перпендикулярны этой одной прямой, а значит, они будут параллельны между собой. Две параллельные прямые либо не пересекаются, либо совпадают, но они не могут пересечься в одной точке. Следовательно, не существует точки $O$, равноудаленной от всех трех точек. Также можно отметить, что по определению окружность может пересекать прямую не более чем в двух точках, поэтому она не может пройти через три точки, лежащие на одной прямой. В этом случае задача не имеет решения.

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда три данные точки не лежат на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, провести через них окружность невозможно.

450 На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых.

Для решения этой задачи необходимо найти точки, которые одновременно принадлежат данной окружности и множеству точек, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

1. Анализ.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образованных данными прямыми. Пусть даны пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$. Множество всех точек, равноудалённых от них, — это биссектрисы $b_1$ и $b_2$ четырёх образовавшихся углов.

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:

• принадлежать данной окружности;
• принадлежать одной из биссектрис $b_1$ или $b_2$.

Следовательно, искомые точки — это точки пересечения данной окружности с биссектрисами $b_1$ и $b_2$.

2. Построение.

1. Пусть дана окружность $\omega$ и две пересекающиеся в точке $O$ прямые $l_1$ и $l_2$.
2. Построим биссектрисы углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$. Для этого можно провести окружность произвольного радиуса с центром в точке $O$ и, используя полученные точки пересечения с прямыми $l_1$ и $l_2$, построить биссектрисы $b_1$ и $b_2$.
3. Найдём точки пересечения прямых $b_1$ и $b_2$ с данной окружностью $\omega$.

Полученные точки пересечения и будут искомыми, так как они лежат на окружности $\omega$ по условию и равноудалены от прямых $l_1$ и $l_2$, так как лежат на их биссектрисах.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности и биссектрис углов, образованных данными пересекающимися прямыми.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения данной окружности $\omega$ с двумя прямыми — биссектрисами $b_1$ и $b_2$.

Одна прямая может пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или не иметь с ней общих точек. Поскольку у нас две прямые ($b_1$ и $b_2$), то возможное количество решений — это сумма точек пересечения окружности с каждой из этих прямых.

Проанализируем все возможные случаи в зависимости от взаимного расположения окружности и биссектрис $b_1$ и $b_2$. Пусть $R$ — радиус окружности, $C$ — её центр, $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра $C$ до прямых $b_1$ и $b_2$ соответственно.

• 0 решений: окружность не имеет общих точек ни с одной из биссектрис (когда $d_1 > R$ и $d_2 > R$).
• 1 решение: окружность касается одной из биссектрис и не пересекает другую (когда $d_1 = R$ и $d_2 > R$, или $d_2 = R$ и $d_1 > R$).
• 2 решения: окружность пересекает одну биссектрису в двух точках, а другую не пересекает (когда $d_1 < R$ и $d_2 > R$, или наоборот), либо окружность касается обеих биссектрис (когда $d_1 = R$ и $d_2 = R$).
• 3 решения: окружность касается одной биссектрисы и пересекает другую в двух точках (когда $d_1 = R$ и $d_2 < R$, или наоборот).
• 4 решения: окружность пересекает каждую из двух биссектрис в двух точках (когда $d_1 < R$ и $d_2 < R$).

Таким образом, количество решений зависит от радиуса окружности и её расположения относительно точки пересечения данных прямых.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

451 Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

Постройте точку, равноудалённую от этих прямых.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.
По условию, три прямые попарно пересекаются, не проходя через одну точку. Это означает, что данные прямые образуют треугольник. Обозначим этот треугольник как $\triangle ABC$. Искомая точка должна быть равноудалена от всех трех прямых (сторон треугольника).
Следовательно, такая точка должна лежать на пересечении биссектрис углов, образованных этими прямыми. Существует два типа таких точек:

1. Центр вписанной окружности (инцентр). Эта точка лежит внутри треугольника и равноудалена от всех трех его сторон. Для ее построения необходимо:
а) Построить биссектрисы двух любых внутренних углов треугольника (например, углов A и B).
б) Точка пересечения этих биссектрис и будет первой искомой точкой. Она является центром окружности, вписанной в треугольник.

2. Центры вневписанных окружностей (эксцентры). Этих точек три, и каждая из них равноудалена от одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Для построения одной из таких точек (например, лежащей напротив вершины А) необходимо:
а) Построить биссектрису одного внутреннего угла (например, угла А).
б) Построить биссектрису одного из внешних углов при другой вершине (например, внешнего угла при вершине В).
в) Точка пересечения этих биссектрис будет второй искомой точкой. Повторив процедуру для других пар углов (внутреннего при В и внешнего при С; внутреннего при С и внешнего при А), можно найти две другие точки.

Таким образом, любая из этих четырех точек (центр вписанной и три центра вневписанных окружностей) удовлетворяет условию задачи.
Ответ: Искомая точка является точкой пересечения биссектрис углов, образованных данными прямыми. Например, можно построить биссектрисы двух внутренних углов треугольника, образованного прямыми. Точка их пересечения будет решением.

Сколько решений имеет задача?

Как показано в анализе выше, существует несколько точек, удовлетворяющих условию. Каждая из них является центром окружности, касающейся трех данных прямых.

• Одна точка — это центр вписанной окружности, который является точкой пересечения трех биссектрис внутренних углов треугольника.
• Три точки — это центры трех вневписанных окружностей. Каждая такая точка является пересечением биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов.

Таким образом, всего существует 4 точки, равноудаленные от трех данных прямых.
Ответ: Задача имеет 4 решения.

452 Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.

Для решения задачи построим треугольник $ABC$ по стороне $BC=a$, сумме двух других сторон $AB+AC=s$ и разности углов при этой стороне $|\angle B - \angle C| = \delta$. Для определённости будем считать, что $\angle B > \angle C$, тогда $\angle B - \angle C = \delta$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На продолжении стороны $BA$ за точку $A$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $AC$. В этом случае $\triangle ADC$ является равнобедренным, и $BD = BA + AD = BA + AC = s$.

Рассмотрим вспомогательный треугольник $BDC$. В нём известны две стороны: $BC=a$ и $BD=s$. Найдём один из его углов. Так как $\triangle ADC$ равнобедренный, то углы при его основании равны: $\angle ADC = \angle ACD$. Внешний угол $\angle BAC$ треугольника $ADC$ равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle BAC = \angle ADC + \angle ACD = 2\angle ADC$. Отсюда следует, что $\angle BDC = \frac{1}{2}\angle BAC$.

Найдём угол $\angle BCD$. Он равен сумме $\angle BCA$ и $\angle ACD$. Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A, \angle B, \angle C$. Тогда $\angle BCD = \angle C + \angle ACD = \angle C + \angle ADC = \angle C + \frac{1}{2}\angle A$.

В треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. По условию $\angle B - \angle C = \delta$, откуда $\angle B = \angle C + \delta$. Подставим это в сумму углов: $\angle A + (\angle C + \delta) + \angle C = 180^\circ$, что даёт $\angle A + 2\angle C + \delta = 180^\circ$. Выразим отсюда $\angle C$: $2\angle C = 180^\circ - \angle A - \delta$, или $\angle C = 90^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\delta}{2}$.

Теперь подставим это выражение для $\angle C$ в формулу для $\angle BCD$:
$\angle BCD = \left(90^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\delta}{2}\right) + \frac{\angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.

Таким образом, в треугольнике $BDC$ известны две стороны $BC=a$, $BD=s$ и угол $\angle BCD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$, противолежащий стороне $BD$. Этого достаточно для построения треугольника $BDC$.

После построения $\triangle BDC$ нужно найти вершину $A$. Точка $A$ лежит на отрезке $BD$. Кроме того, так как $AC=AD$, точка $A$ равноудалена от точек $C$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$. Следовательно, вершина $A$ является точкой пересечения отрезка $BD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CD$.

1. Строим отрезок $BC$ заданной длины $a$.
2. Строим угол, равный $\delta$. С помощью циркуля и линейки делим этот угол пополам, получая угол $\frac{\delta}{2}$.
3. В точке $C$ строим прямой угол ($90^\circ$). От луча $CB$ откладываем внутрь прямого угла угол, равный $\frac{\delta}{2}$. Полученный луч $CY$ образует с лучом $CB$ угол $\angle BCY = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.
4. Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $s$.
5. Точка пересечения этой дуги с лучом $CY$ является вершиной $D$.
6. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком. Треугольник $BDC$ построен.
7. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $CD$.
8. Точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $BD$ есть искомая вершина $A$.
9. Соединяем точки $A$ и $C$.

Треугольник $ABC$ построен.

По построению сторона $BC$ полученного $\triangle ABC$ равна заданной длине $a$.

Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$, следовательно, $AC = AD$. Так как точка $A$ лежит на отрезке $BD$, то $AB + AD = BD$. Заменив $AD$ на $AC$, получаем $AB + AC = BD$. По построению $BD=s$, значит, $AB + AC = s$.

Осталось доказать, что разность углов $\angle B - \angle C$ равна $\delta$. В построенном $\triangle ABC$ обозначим углы $\angle A_{ABC}, \angle B_{ABC}, \angle C_{ABC}$. По построению $\angle BCD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$. С другой стороны, $\angle BCD = \angle C_{ABC} + \angle ACD$. В равнобедренном $\triangle ADC$ ($AC=AD$) углы при основании равны: $\angle ACD = \angle ADC$. Внешний угол $\triangle ADC$ при вершине $A$ равен $\angle A_{ABC} = \angle ADC + \angle ACD = 2\angle ADC$, откуда $\angle ADC = \frac{1}{2}\angle A_{ABC}$. Следовательно, $\angle BCD = \angle C_{ABC} + \frac{1}{2}\angle A_{ABC}$.

Приравнивая два выражения для $\angle BCD$, получаем: $\angle C_{ABC} + \frac{1}{2}\angle A_{ABC} = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.
Умножив на 2, имеем: $2\angle C_{ABC} + \angle A_{ABC} = 180^\circ - \delta$.

В $\triangle ABC$ сумма углов равна $\angle A_{ABC} + \angle B_{ABC} + \angle C_{ABC} = 180^\circ$.

Вычтем из второго равенства первое: $(\angle A_{ABC} + \angle B_{ABC} + \angle C_{ABC}) - (2\angle C_{ABC} + \angle A_{ABC}) = 180^\circ - (180^\circ - \delta)$.
$\angle B_{ABC} - \angle C_{ABC} = \delta$.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построенный треугольник является искомым.

Задача имеет решение, если все шаги построения выполнимы. Ключевым шагом является построение точки $D$. Она существует, если окружность с центром в $B$ и радиусом $s$ пересекает луч $CY$. Для этого необходимо, чтобы расстояние $s$ было не меньше, чем расстояние от точки $B$ до прямой $CY$, которое равно $h = a \cdot \sin(\angle BCY) = a \cdot \cos(\frac{\delta}{2})$.

Для существования самого треугольника $ABC$ должно выполняться неравенство треугольника: $AB+AC > BC$, то есть $s > a$.

Поскольку $\delta$ — разность углов треугольника, то $0 < \delta < 180^\circ$, и значит $0 < \cos(\frac{\delta}{2}) < 1$. Поэтому условие $s > a$ является более сильным, чем $s > a \cdot \cos(\frac{\delta}{2})$. Если $s > a$, то пересечение окружности и прямой $CY$ будет существовать, и оно будет состоять из двух точек. Однако только одна из этих точек будет лежать на луче $CY$, что обеспечивает единственность точки $D$.

Существование и единственность точки $A$ на отрезке $BD$ следует из того, что функция $f(P) = PC - PD$ непрерывна и монотонна для точек $P$ на отрезке $BD$, и при этом $f(B) = a-s < 0$ и $f(D) = DC > 0$. По теореме о промежуточном значении, существует единственная точка $A$, где $f(A)=0$, то есть $AC=AD$.

Ответ: Задача имеет единственное решение, если выполняются условия $s>a$ и $0 < \delta < 180^\circ$.

453 Даны две равные окружности с центрами О₁ и О₂, имеющие одну общую точку (такие окружности называются касающимися). Прямая m является касательной к каждой из них в точках А и В соответственно. Докажите, что отрезок АВ равен отрезку О₁О₂.

Пусть $R$ — радиус данных равных окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$. Прямая $m$ является общей касательной к первой окружности в точке $A$ и ко второй — в точке $B$.

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, отрезок $O_1A$ перпендикулярен прямой $m$, и отрезок $O_2B$ также перпендикулярен прямой $m$.

Из этого следует, что $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$, а значит, углы $\angle O_1AB$ и $\angle O_2BA$ являются прямыми и равны $90^\circ$.

Поскольку прямые $O_1A$ и $O_2B$ обе перпендикулярны одной и той же прямой $m$, они параллельны между собой: $O_1A \parallel O_2B$.

Рассмотрим четырехугольник $ABO_2O_1$. В этом четырехугольнике стороны $O_1A$ и $O_2B$ являются противолежащими. Мы установили, что они параллельны. Кроме того, их длины равны, так как они являются радиусами данных равных окружностей: $O_1A = O_2B = R$.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABO_2O_1$ — параллелограмм.

Поскольку у параллелограмма $ABO_2O_1$ есть прямой угол (например, $\angle O_1AB = 90^\circ$), то этот параллелограмм является прямоугольником.

В прямоугольнике противолежащие стороны равны. В четырехугольнике $ABO_2O_1$ сторона $AB$ является противолежащей стороне $O_1O_2$. Значит, их длины равны: $AB = O_1O_2$.

Таким образом, доказано, что отрезок $AB$ равен отрезку $O_1O_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев четырехугольник $ABO_2O_1$, образованный центрами окружностей и точками касания, было показано, что он является прямоугольником. Из свойства прямоугольника (равенство противолежащих сторон) следует, что $AB = O_1O_2$.

454 Даны две окружности, не имеющие общих точек. Постройте их общую касательную. Сколько таких касательных можно построить?

Задача состоит из двух частей: построение общей касательной и определение количества возможных касательных для двух окружностей, не имеющих общих точек.

Построение общей касательной

Общие касательные бывают двух видов: внешние (окружности лежат по одну сторону от касательной) и внутренние (окружности лежат по разные стороны от касательной). Рассмотрим алгоритм построения для каждого вида.

Пусть даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Для определенности предположим, что $R_1 > R_2$.

Построение внешней касательной:

1. Построим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$.
2. Из точки $O_2$ проведем касательную к окружности $\omega_3$. Для этого:
   • Найдем середину $M$ отрезка $O_1O_2$.
   • Построим окружность с центром в $M$ и диаметром $O_1O_2$.
   • Точка пересечения этой окружности с окружностью $\omega_3$ будет точкой касания, назовем ее $A$.
3. Проведем луч $O_1A$. Точка его пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $K_1$.
4. Проведем через точку $O_2$ прямую, параллельную радиусу $O_1K_1$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\omega_2$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $K_2$. Важно, чтобы радиус $O_2K_2$ был сонаправлен с $O_1K_1$.
5. Прямая, проходящая через точки $K_1$ и $K_2$, является искомой внешней касательной.

Построение внутренней касательной:

1. Построим вспомогательную окружность $\omega_4$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r' = R_1 + R_2$.
2. Из точки $O_2$ проведем касательную к окружности $\omega_4$ (аналогично пункту 2 из предыдущего алгоритма). Пусть точка касания — $B$.
3. Проведем радиус $O_1B$. Точка его пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $L_1$.
4. Проведем через точку $O_2$ прямую, параллельную радиусу $O_1L_1$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\omega_2$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $L_2$. В данном случае радиус $O_2L_2$ должен быть направлен в противоположную сторону от $O_1L_1$.
5. Прямая, проходящая через точки $L_1$ и $L_2$, является искомой внутренней касательной.

Ответ: Построение выполняется с помощью вспомогательной окружности, радиус которой равен разности (для внешней касательной) или сумме (для внутренней касательной) радиусов исходных окружностей. Затем строится касательная из центра одной окружности к вспомогательной, и эта конструкция переносится на исходные окружности.

Количество возможных касательных

Условие "не имеющие общих точек" означает два возможных случая взаимного расположения окружностей. Пусть $d$ — расстояние между центрами окружностей $O_1$ и $O_2$.

1. Одна окружность находится вне другой.
   Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$. В этом случае можно построить четыре общие касательные:
   • Две внешние (по одной с каждой стороны от линии центров).
   • Две внутренние (пересекающие линию центров между окружностями).
2. Одна окружность находится внутри другой.
   Это происходит, когда расстояние между центрами меньше разности их радиусов: $d < |R_1 - R_2|$. В этом случае общих касательных построить невозможно.

Поскольку в условии задачи предлагается построить касательную, подразумевается случай, когда это возможно.

Ответ: Если одна окружность расположена вне другой, можно построить 4 общие касательные (2 внешние и 2 внутренние). Если одна окружность расположена внутри другой, общих касательных нет (0).

455 Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.

Для решения задачи выполним анализ, построение и исследование.

Анализ

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, и точка $M$. Требуется построить окружность $\omega$, которая проходит через точку $M$ и касается прямых $a$ и $b$.

1. Если окружность касается двух параллельных прямых, то ее центр $O$ должен быть равноудален от этих прямых. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, есть прямая $c$, параллельная им и проходящая посередине между ними.

2. Диаметр такой окружности равен расстоянию между данными параллельными прямыми. Обозначим это расстояние как $d$. Тогда радиус искомой окружности $R$ будет равен $d/2$.

3. Так как искомая окружность должна проходить через точку $M$, то расстояние от ее центра $O$ до точки $M$ должно быть равно радиусу $R$. Это означает, что центр $O$ должен лежать на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ является точкой пересечения двух геометрических мест: серединной прямой $c$ и окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R = d/2$.

Построение

1. На прямой $a$ выберем произвольную точку $P$. С помощью циркуля и линейки построим прямую, перпендикулярную прямой $a$ и проходящую через точку $P$. Эта прямая пересечет прямую $b$ в некоторой точке $Q$. Длина отрезка $PQ$ равна расстоянию $d$ между прямыми $a$ и $b$.

2. Построим середину отрезка $PQ$. Обозначим эту точку $S$. Длина отрезка $PS$ (или $SQ$) равна искомому радиусу $R$, то есть $R = d/2$.

3. Через точку $S$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $a$ (и, следовательно, прямой $b$). Эта прямая $c$ является серединной линией для прямых $a$ и $b$.

4. С центром в данной точке $M$ построим окружность радиусом $R$, равным длине отрезка $PS$.

5. Найдем точки пересечения прямой $c$ и окружности, построенной в шаге 4. Эти точки (если они существуют) и будут центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.

6. Построим окружность (или окружности) с центром в найденной точке (или точках) $O_1$ (и $O_2$) и радиусом $R$. Построенные окружности являются искомыми.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $c$ и окружности с центром в $M$ и радиусом $R$. Это, в свою очередь, зависит от положения точки $M$ относительно прямых $a$ и $b$.

1. Два решения. Если точка $M$ расположена строго между прямыми $a$ и $b$, то расстояние от нее до серединной прямой $c$ будет меньше $R$. В этом случае окружность с центром $M$ и радиусом $R$ пересечет прямую $c$ в двух точках. Следовательно, задача будет иметь два решения.

2. Одно решение. Если точка $M$ лежит на одной из данных прямых, $a$ или $b$, то расстояние от нее до прямой $c$ будет в точности равно $R$. В этом случае окружность с центром $M$ будет касаться прямой $c$ в одной точке. Следовательно, задача будет иметь одно решение.

3. Нет решений. Если точка $M$ лежит вне полосы, ограниченной прямыми $a$ и $b$, то расстояние от нее до прямой $c$ будет больше $R$. В этом случае окружность с центром $M$ и прямая $c$ не будут иметь общих точек. Следовательно, задача не будет иметь решений.

Ответ: Для построения окружности нужно найти ее радиус $R$, который равен половине расстояния между данными параллельными прямыми, и ее центр $O$. Центр $O$ лежит на пересечении двух множеств точек: 1) прямой, равноудаленной от двух данных параллельных прямых; 2) окружности с центром в данной точке $M$ и радиусом $R$. В зависимости от положения точки $M$ задача может иметь два решения (если $M$ между прямыми), одно решение (если $M$ на одной из прямых) или не иметь решений (если $M$ вне полосы между прямыми).

456 Даны прямая m, точка A на прямой m и точка B, не лежащая на этой прямой. Постройте окружность, проходящую через точку B и касающуюся прямой m в точке A.

Для построения искомой окружности необходимо найти её центр и радиус. Обозначим центр окружности буквой O, а радиус — R.

Анализ задачи

1. По условию, окружность касается прямой m в точке A. Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, центр окружности O должен лежать на прямой p, которая проходит через точку A и перпендикулярна прямой m.

2. Окружность также проходит через точку B. Поскольку точка A (точка касания) тоже лежит на окружности, то расстояния от центра O до точек A и B равны радиусу: $OA = OB = R$.

3. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек (в нашем случае A и B), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим этот серединный перпендикуляр как s.

Таким образом, центр искомой окружности O является точкой пересечения двух прямых: перпендикуляра p к прямой m в точке A и серединного перпендикуляра s к отрезку AB.

Алгоритм построения

1. Построить прямую p, проходящую через точку A перпендикулярно прямой m.
2. Соединить точки A и B отрезком.
3. Построить серединный перпендикуляр s к отрезку AB.
4. Найти точку пересечения прямых p и s. Это и есть искомый центр O.
5. Установить ножку циркуля в точку O, а грифель — в точку A. Полученный радиус $R=OA$.
6. Построить окружность с центром O и радиусом R.

Доказательство

Построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.
- Она касается прямой m в точке A, так как по построению её центр O лежит на прямой p, перпендикулярной m в точке A, и $OA$ является радиусом.
- Она проходит через точку B, так как её центр O по построению лежит на серединном перпендикуляре s к отрезку AB, что гарантирует равенство расстояний $OA = OB$. Поскольку радиус окружности равен OA, точка B также лежит на этой окружности.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения перпендикуляра к прямой m, восставленного в точке A, и серединного перпендикуляра к отрезку AB. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до точки A.

457 Даны окружность, прямая m, а также точка A на прямой m. Постройте окружность, касающуюся прямой m в точке А и данной окружности.

Задача заключается в построении окружности $C_x$ с центром $O_x$ и радиусом $R_x$, которая касается данной прямой $m$ в точке $A$ и данной окружности $C_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$.

Решение можно разбить на три этапа: анализ, построение и исследование числа решений.

Анализ

Пусть искомая окружность $C_x$ имеет центр $O_x$ и радиус $R_x$.

1. Из условия, что окружность $C_x$ касается прямой $m$ в точке $A$, следует, что ее центр $O_x$ должен лежать на прямой $p$, перпендикулярной прямой $m$ и проходящей через точку $A$. Радиус искомой окружности равен расстоянию от ее центра до точки касания, то есть $R_x = O_x A$.
2. Из условия, что окружность $C_x$ касается данной окружности $C_1$, следует, что расстояние между их центрами $O_1O_x$ равно сумме или разности их радиусов:
   • Внешнее касание: $O_1O_x = R_1 + R_x$.
   • Внутреннее касание: $O_1O_x = |R_1 - R_x|$.

Для нахождения центра $O_x$ введем систему координат. Пусть прямая $m$ является осью абсцисс ($Ox$), а перпендикулярная ей прямая $p$ — осью ординат ($Oy$). Тогда точка $A$ будет началом координат $(0, 0)$. Центр искомой окружности $O_x$ будет иметь координаты $(0, y_x)$, а ее радиус будет $R_x = |y_x|$. Пусть центр данной окружности $C_1$ имеет координаты $O_1(a, b)$, а ее радиус равен $R_1$. Величины $a$, $b$ и $R_1$ можно построить циркулем и линейкой по исходным данным.

Рассмотрим уравнение касания. Расстояние между центрами $O_1(a, b)$ и $O_x(0, y_x)$ равно $O_1O_x = \sqrt{(a-0)^2 + (b-y_x)^2} = \sqrt{a^2 + (b-y_x)^2}$.

Подставим это в условия касания. Рассмотрим случай, когда центр искомой окружности лежит в полуплоскости, где $y>0$, тогда $R_x = y_x$.

1) Внешнее касание: $O_1O_x = R_1 + R_x = R_1 + y_x$.
$\sqrt{a^2 + (b-y_x)^2} = R_1 + y_x$. Возведем в квадрат:
$a^2 + b^2 - 2by_x + y_x^2 = R_1^2 + 2R_1y_x + y_x^2$.
$a^2 + b^2 - R_1^2 = 2by_x + 2R_1y_x = 2(b+R_1)y_x$, откуда $y_x = \frac{a^2+b^2-R_1^2}{2(b+R_1)}$.

2) Внутреннее касание: $O_1O_x = |R_1 - R_x| = |R_1 - y_x|$.
$\sqrt{a^2 + (b-y_x)^2} = |R_1 - y_x|$. Возведем в квадрат:
$a^2 + (b-y_x)^2 = (R_1 - y_x)^2 = R_1^2 - 2R_1y_x + y_x^2$.
$a^2 + b^2 - R_1^2 = 2by_x - 2R_1y_x = 2(b-R_1)y_x$, откуда $y_x = \frac{a^2+b^2-R_1^2}{2(b-R_1)}$.

Эти формулы позволяют найти координату $y_x$ центра искомой окружности, построив отрезки, соответствующие числителю и знаменателю, а затем их отношение. Заметим, что $a^2+b^2 = (O_1A)^2$, то есть квадрату расстояния от точки $A$ до центра $O_1$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

1. Проводим через точку $A$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $m$. Это геометрическое место центров искомых окружностей.
2. Определяем величины $a$, $b$, $R_1$:
   • $R_1$ — радиус данной окружности $C_1$.
   • Опускаем перпендикуляр из центра $O_1$ на прямую $m$. Пусть основание перпендикуляра — точка $H$. Тогда $b = O_1H$.
   • $a = AH$.
3. Строим отрезок $L$, квадрат длины которого равен числителю $N = a^2+b^2-R_1^2 = (O_1A)^2 - R_1^2$.
   • Строим отрезок $d = O_1A$.
   • Если $d > R_1$ (точка $A$ вне окружности $C_1$), строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$ и катетом $R_1$. Второй катет будет иметь длину $L = \sqrt{d^2 - R_1^2}$. Тогда $N = L^2$.
   • Если $d < R_1$ (точка $A$ внутри окружности $C_1$), строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $R_1$ и катетом $d$. Второй катет будет иметь длину $L' = \sqrt{R_1^2 - d^2}$. В этом случае числитель $N = -L'^2$ будет отрицательным.
   • Если $d=R_1$, числитель равен нулю.
4. Строим отрезки, равные знаменателям: $D_1 = 2(b+R_1)$ и $D_2 = 2(b-R_1)$. Это элементарные построения сложения, вычитания и удвоения отрезков.
5. Строим отрезки $y_x$ — ординаты центров искомых окружностей. Нам нужно построить величину вида $y = \frac{L^2}{D}$. Это можно сделать с помощью подобных треугольников.
   • Проводим две пересекающиеся в точке $V$ прямые.
   • На одной прямой откладываем отрезки $VD = D$ и $VL_1 = L$.
   • На второй прямой откладываем отрезок $VL_2 = L$.
   • Соединяем точки $D$ и $L_2$.
   • Проводим через точку $L_1$ прямую, параллельную $DL_2$. Точка ее пересечения со второй прямой, пусть это $Y$, даст отрезок $VY = y$. Из подобия треугольников $\triangle VYL_1 \sim \triangle VL_2D$ следует $\frac{VY}{VL_1} = \frac{VL_2}{VD}$, то есть $\frac{y}{L} = \frac{L}{D}$, откуда $y = \frac{L^2}{D}$.
   Повторяем это построение для обоих знаменателей ($D_1$ и $D_2$), получая до двух различных значений для $y_x$. Если числитель был отрицательным ($N=-L'^2$), то $y_x = \frac{-L'^2}{D}$, и знак $y_x$ будет противоположен знаку $D$.
6. Откладываем полученные отрезки $y_x$ на прямой $p$ от точки $A$. Концы этих отрезков — центры $O_x$ искомых окружностей. Положительные значения $y_x$ откладываются в одну полуплоскость от прямой $m$, отрицательные — в другую.
7. Для каждого найденного центра $O_x$ строим окружность радиусом $R_x = |y_x| = O_xA$.

Исследование

В зависимости от взаимного расположения окружности $C_1$, прямой $m$ и точки $A$, задача может иметь разное число решений (от 0 до 4, так как решения могут быть по обе стороны от прямой $m$).

• Два решения: Это общий случай, когда $A$ не лежит на $C_1$, и $C_1$ не касается прямой $m$. Обычно существуют две окружности, лежащие в одной полуплоскости относительно $m$. Одна касается $C_1$ внешне, другая — внутренне.
• Одно решение: Это возможно в вырожденных случаях. Например, если $A$ лежит на окружности $C_1$, то одно из решений — точечная окружность в точке $A$ (радиус 0).
• Нет решений: Если, например, окружность $C_1$ очень маленькая и находится далеко от прямой $m$, может не найтись окружности, удовлетворяющей условиям.
• Бесконечно много решений: Этот случай возникает, если данная окружность $C_1$ уже касается прямой $m$ в точке $A$. Тогда любая окружность, касающаяся $m$ в точке $A$ и лежащая с той же стороны, что и $C_1$, будет касаться и $C_1$. В наших формулах это соответствует случаю неопределенности $0/0$.

Таким образом, построив величины $y_x$ по приведенным формулам, мы находим все возможные центры искомых окружностей.

Ответ: Задача решается путем сведения к алгебраическим уравнениям, которые затем решаются геометрически с помощью циркуля и линейки. Алгоритм построения описан выше. В общем случае задача имеет два решения (если рассматривать окружности по одну сторону от прямой).

458 Даны неразвёрнутый угол и точка на одной из его сторон. Постройте окружность, которая вписана в угол и касается его стороны в данной точке.

Для построения окружности, которая вписана в данный неразвёрнутый угол и касается одной из его сторон в указанной точке, необходимо найти её центр и радиус. Решение задачи основывается на двух фундаментальных геометрических свойствах.

Во-первых, известно, что центр любой окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон. Множеством всех таких точек является биссектриса данного угла. Следовательно, центр искомой окружности должен лежать на биссектрисе угла.

Во-вторых, радиус окружности, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной прямой. По условию, окружность должна касаться одной из сторон угла (назовём её лучом $a$) в данной на ней точке $K$. Это означает, что центр искомой окружности должен находиться на прямой, которая перпендикулярна лучу $a$ и проходит через точку $K$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки, удовлетворяющей обоим этим условиям. Эта точка является пересечением двух линий: биссектрисы угла и перпендикуляра к стороне в точке касания.

Построение выполняется в следующем порядке:

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и точка $K$ на одной из его сторон.
1. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису $l$ данного угла $O$.
2. В точке $K$ строим прямую $m$, перпендикулярную стороне, на которой лежит точка $K$.
3. Находим точку пересечения биссектрисы $l$ и перпендикуляра $m$. Обозначим эту точку как $C$. Эта точка и будет центром искомой окружности.
4. Радиус искомой окружности $R$ равен длине отрезка $CK$.
5. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R = CK$.

Построенная окружность является искомой, так как она по построению касается стороны в точке $K$ (поскольку радиус $CK$ перпендикулярен этой стороне) и также касается второй стороны угла (поскольку её центр $C$ лежит на биссектрисе и, следовательно, равноудалён от обеих сторон).

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо найти точку пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне угла, проведённого через данную на этой стороне точку. Найденная точка пересечения является центром окружности, а расстояние от неё до данной точки — её радиусом.

459 Даны острый угол и его внутренняя точка А. Постройте на сторонах угла такие точки В и С, чтобы периметр треугольника АВС был наименьшим.

Для решения задачи о нахождении треугольника наименьшего периметра воспользуемся методом осевой симметрии. Искомый периметр $P$ треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон $P = AB + BC + CA$. Точка $A$ зафиксирована, а точки $B$ и $C$ могут перемещаться по сторонам заданного острого угла. Обозначим стороны угла как $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $B$ лежит на $l_1$, а точка $C$ — на $l_2$.

Ключевая идея состоит в том, чтобы "распрямить" ломаную, из которой состоит периметр. Для этого отразим точку $A$ симметрично относительно обеих сторон угла. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно стороны $l_1$. По свойству осевой симметрии, для любой точки $B$ на прямой $l_1$ расстояние до $A$ равно расстоянию до $A'$, то есть $AB = A'B$. Аналогично, построим точку $A''$, симметричную точке $A$ относительно стороны $l_2$. Тогда для любой точки $C$ на прямой $l_2$ будет выполняться равенство $AC = A''C$.

Теперь мы можем переписать формулу периметра, используя построенные точки:$P = AB + BC + CA = A'B + BC + CA''$.Эта сумма представляет собой длину ломаной линии $A'BCA''$. Длина этой ломаной зависит от положения точек $B$ и $C$. Точки $A'$ и $A''$ являются фиксированными, так как их положение определяется только исходной точкой $A$ и сторонами угла. Кратчайшее расстояние между двумя фиксированными точками $A'$ и $A''$ — это длина отрезка прямой, соединяющего их. Следовательно, периметр $P$ будет наименьшим, когда точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $A'A''$.

Таким образом, искомые точки $B$ и $C$ — это точки пересечения отрезка $A'A''$ со сторонами угла $l_1$ и $l_2$ соответственно. Минимальный периметр при этом равен длине отрезка $A'A''$. Для любых других точек $B_1$ на $l_1$ и $C_1$ на $l_2$ периметр $P_1 = A'B_1 + B_1C_1 + C_1A''$ будет не меньше длины $A'A''$ по свойству кратчайшего пути. Условие, что угол является острым, необходимо для того, чтобы отрезок $A'A''$ пересекал именно лучи, являющиеся сторонами угла, а не их продолжения. В случае прямого или тупого угла наименьший периметр достигался бы, если бы точки $B$ и $C$ совпали с вершиной угла.

Ответ:
Чтобы построить точки $B$ и $C$ на сторонах угла для получения треугольника $ABC$ с наименьшим периметром, необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно одной стороны угла.
2. Построить точку $A''$, симметричную точке $A$ относительно другой стороны угла.
3. Соединить точки $A'$ и $A''$ отрезком прямой.
Точки пересечения этого отрезка со сторонами угла и будут искомыми точками $B$ и $C$.

460 Дан прямоугольный треугольник. Постройте окружность с центром на одном из катетов, которая касается гипотенузы и проходит через вершину прямого угла треугольника.

Для решения задачи сначала проведем анализ, чтобы определить геометрическое место точек, в котором может находиться центр искомой окружности. Затем на основе этого анализа выполним построение и докажем его правильность.

Анализ задачи и план построения

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

Согласно условию, необходимо построить окружность, которая удовлетворяет трем требованиям:

1. Центр окружности, обозначим его $O$, лежит на одном из катетов. Для определенности, выберем катет $AC$. Таким образом, точка $O$ принадлежит отрезку $AC$ ($O \in AC$).
2. Окружность проходит через вершину прямого угла, то есть через точку $C$. Это означает, что радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до точки $C$. Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AC$, радиус равен длине отрезка $OC$: $R = OC$.
3. Окружность касается гипотенузы $AB$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ равно радиусу $R$. Если опустить перпендикуляр из точки $O$ на гипотенузу $AB$ и обозначить его основание как $T$, то длина этого перпендикуляра $OT$ должна быть равна радиусу: $OT = R$.

Из второго и третьего пунктов следует, что $OC = OT$.

Теперь рассмотрим, что означает это равенство. Расстояние от точки $O$, лежащей на катете $AC$, до второго катета $BC$ равно длине отрезка $OC$, так как $AC \perp BC$. Условие $OC = OT$ означает, что точка $O$ равноудалена от прямых $BC$ и $AB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла, образованного этими прямыми. В нашем случае это биссектриса угла $\angle ABC$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ является точкой, которая одновременно удовлетворяет двум условиям:

• Принадлежит катету $AC$.
• Принадлежит биссектрисе угла $\angle ABC$.

Следовательно, точка $O$ — это точка пересечения катета $AC$ и биссектрисы угла $\angle ABC$. Эта точка единственна, и ее можно построить с помощью циркуля и линейки.

Пошаговое построение

1. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.
2. Строим биссектрису угла $\angle ABC$. Для этого:
   • Из вершины $B$ как из центра проводим дугу окружности произвольного радиуса, которая пересекает стороны $BA$ и $BC$ в точках, которые мы можем обозначить как $M$ и $N$.
   • Из точек $M$ и $N$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины дуги $MN$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения $K$.
   • Проводим луч $BK$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle ABC$.
3. Находим точку пересечения биссектрисы $BK$ и катета $AC$. Обозначаем эту точку $O$. Эта точка является центром искомой окружности.
4. Отрезок $OC$ является радиусом $R$ искомой окружности.
5. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OC$. Эта окружность и будет искомой.

Доказательство

Проверим, что построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи:

• Центр лежит на одном из катетов: По построению, центр $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $\angle ABC$ и катета $AC$, следовательно, точка $O$ лежит на катете $AC$.
• Окружность проходит через вершину прямого угла: Радиус окружности по построению равен длине отрезка $OC$, поэтому точка $C$ (вершина прямого угла) лежит на окружности.
• Окружность касается гипотенузы: Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$, она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AB$ и $BC$. Расстояние от $O$ до прямой $BC$ равно $OC$ (поскольку $O \in AC$ и $AC \perp BC$). Расстояние от $O$ до прямой $AB$ (длина перпендикуляра $OT$) должно быть таким же. Таким образом, $OT = OC$. Так как $OC$ — это радиус окружности, а $OT$ — расстояние от ее центра до прямой $AB$, то окружность касается гипотенузы $AB$ в точке $T$.

Все условия выполнены, следовательно, построение является верным.

Ответ: Центр искомой окружности находится в точке пересечения одного из катетов (например, $AC$) и биссектрисы противолежащего ему острого угла ($\angle ABC$). Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до вершины прямого угла ($C$).

461 Даны окружность, её внутренняя точка A и отрезок PQ. Постройте хорду KМ окружности, проходящую через точку А так, что АK – АМ = PQ.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест. Сначала проведём анализ, чтобы свести задачу к поиску точки, а затем опишем алгоритм построения, докажем его верность и исследуем количество возможных решений.

Пусть дана окружность $ \omega $ с центром в точке $ O $ и радиусом $ R $, точка $ A $ внутри неё и отрезок $ PQ $. Необходимо построить хорду $ KM $, проходящую через точку $ A $ так, чтобы выполнялось условие $ |AK - AM| = PQ $. Без ограничения общности, будем считать, что точка $ M $ находится между $ A $ и $ K $, тогда $ AK - AM = PQ $.

Поскольку точка $ A $ лежит на хорде $ KM $, длина хорды равна $ KM = AK + AM $. Мы имеем систему из двух уравнений:

• $ AK - AM = PQ $
• $ AK + AM = KM $

Сложив уравнения, получим $ 2 \cdot AK = KM + PQ $, откуда $ AK = \frac{KM + PQ}{2} $. Вычтя первое уравнение из второго, получим $ 2 \cdot AM = KM - PQ $, откуда $ AM = \frac{KM - PQ}{2} $.

По теореме о степени точки, для точки $ A $ и любой хорды, проходящей через неё, произведение длин отрезков, на которые точка $ A $ делит хорду, является постоянной величиной. Эта величина равна $ R^2 - OA^2 $. Следовательно, $ AK \cdot AM = R^2 - OA^2 $.

Подставим выражения для $ AK $ и $ AM $ в это равенство: $ \left(\frac{KM + PQ}{2}\right) \cdot \left(\frac{KM - PQ}{2}\right) = R^2 - OA^2 $ $ \frac{KM^2 - PQ^2}{4} = R^2 - OA^2 $

Пусть $ H $ — середина хорды $ KM $. Тогда $ OH \perp KM $. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и отрезком $ OH $, имеем $ R^2 = OH^2 + \left(\frac{KM}{2}\right)^2 $. Отсюда $ \left(\frac{KM}{2}\right)^2 = R^2 - OH^2 $, или $ \frac{KM^2}{4} = R^2 - OH^2 $.

Подставим это в наше уравнение: $ (R^2 - OH^2) - \frac{PQ^2}{4} = R^2 - OA^2 $ $ -OH^2 - \frac{PQ^2}{4} = -OA^2 $ $ OA^2 - OH^2 = \frac{PQ^2}{4} $ $ OA^2 - OH^2 = \left(\frac{PQ}{2}\right)^2 $

Рассмотрим треугольник $ \triangle OHA $. Так как $ OH \perp KM $, то $ \angle OHA = 90^\circ $. По теореме Пифагора для $ \triangle OHA $, $ OA^2 = OH^2 + AH^2 $, откуда $ OA^2 - OH^2 = AH^2 $.

Сравнивая два последних выражения, получаем $ AH^2 = \left(\frac{PQ}{2}\right)^2 $, что означает $ AH = \frac{PQ}{2} $.

Таким образом, задача сводится к нахождению середины $ H $ искомой хорды. Точка $ H $ должна удовлетворять двум условиям:

1. Поскольку $ H $ — середина хорды, проходящей через $ A $, то $ \angle OHA = 90^\circ $. Геометрическое место таких точек $ H $ — это окружность $ \omega_1 $, построенная на отрезке $ OA $ как на диаметре.
2. Расстояние от $ A $ до $ H $ равно $ \frac{PQ}{2} $. Геометрическое место таких точек $ H $ — это окружность $ \omega_2 $ с центром в точке $ A $ и радиусом $ r = \frac{PQ}{2} $.

Искомая точка $ H $ является точкой пересечения этих двух окружностей.

Ответ: Для построения хорды необходимо найти её середину $ H $, которая является точкой пересечения двух вспомогательных окружностей: одной, построенной на $ OA $ как на диаметре, и второй, с центром в $ A $ и радиусом $ \frac{PQ}{2} $.

1. Находим середину отрезка $ PQ $ (например, с помощью циркуля и линейки), получаем отрезок длиной $ \frac{PQ}{2} $.
2. Строим окружность $ \omega_2 $ с центром в точке $ A $ и радиусом, равным $ \frac{PQ}{2} $.
3. Соединяем точки $ O $ и $ A $ отрезком.
4. Строим окружность $ \omega_1 $, для которой отрезок $ OA $ является диаметром (находим середину $ OA $, которая будет центром $ \omega_1 $, а радиус будет равен $ \frac{OA}{2} $).
5. Находим точку (или точки) $ H $ пересечения окружностей $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $.
6. Проводим прямую через точки $ A $ и $ H $.
7. Точки пересечения этой прямой с исходной окружностью $ \omega $ и будут искомыми точками $ K $ и $ M $.

Ответ: Искомая хорда $ KM $ лежит на прямой, проходящей через данную точку $ A $ и точку $ H $, найденную как пересечение двух вспомогательных окружностей.

Пусть хорда $ KM $ построена согласно описанному алгоритму. Покажем, что она удовлетворяет условию задачи.

По построению, точка $ H $ лежит на окружности $ \omega_1 $ с диаметром $ OA $. Следовательно, угол $ \angle OHA $ опирается на диаметр, а значит, он прямой: $ \angle OHA = 90^\circ $.

Это означает, что отрезок $ OH $ перпендикулярен хорде $ KM $. По свойству хорд, перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Таким образом, $ H $ — середина хорды $ KM $, т.е. $ KH = MH = \frac{KM}{2} $.

Также по построению, точка $ H $ лежит на окружности $ \omega_2 $ с центром в $ A $ и радиусом $ \frac{PQ}{2} $. Следовательно, $ AH = \frac{PQ}{2} $.

Поскольку $ A $ лежит на хорде $ KM $, а $ H $ — её середина, то отрезки $ AK $ и $ AM $ можно выразить через $ HM $ и $ AH $. Пусть для определенности точки на прямой расположены в порядке $ M, H, A, K $. Тогда: $ AK = KH - AH = \frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2} $ $ AM = MH - AH $, но это неверно, порядок другой. Пусть порядок $ K, A, H, M $. Тогда $ AK = HK - AH = \frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2} $ и $ AM = HM + AH = \frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2} $. Тогда $ |AK-AM| = \left| \left(\frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2}\right) - \left(\frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2}\right) \right| = |-PQ| = PQ $.

Если порядок $ K, H, A, M $, то $ AK = KH + AH = \frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2} $ и $ AM = HM - AH = \frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2} $. Тогда $ AK-AM = \left(\frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2}\right) - \left(\frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2}\right) = PQ $.

В любом случае, разность длин отрезков $ AK $ и $ AM $ равна длине отрезка $ PQ $. Построение верно.

Ответ: Построенная хорда $ KM $ удовлетворяет условию $ |AK - AM| = PQ $, так как её середина $ H $ по построению удалена от точки $ A $ на расстояние $ \frac{PQ}{2} $.

Решение задачи существует тогда и только тогда, когда окружности $ \omega_1 $ (с диаметром $ OA $) и $ \omega_2 $ (с центром $ A $ и радиусом $ r_2 = \frac{PQ}{2} $) пересекаются.

Центр окружности $ \omega_1 $ — середина отрезка $ OA $, обозначим её $ C $. Радиус $ \omega_1 $ равен $ r_1 = \frac{OA}{2} $. Расстояние между центрами $ C $ и $ A $ равно $ CA = \frac{OA}{2} $.

Условие пересечения двух окружностей: $ |r_1 - r_2| \le CA \le r_1 + r_2 $. Подставляем наши значения: $ \left|\frac{OA}{2} - \frac{PQ}{2}\right| \le \frac{OA}{2} \le \frac{OA}{2} + \frac{PQ}{2} $

Правое неравенство $ \frac{OA}{2} \le \frac{OA}{2} + \frac{PQ}{2} $ преобразуется к виду $ 0 \le \frac{PQ}{2} $, что всегда верно, так как длина отрезка неотрицательна.

Левое неравенство $ \left|\frac{OA - PQ}{2}\right| \le \frac{OA}{2} $ равносильно двойному неравенству: $ -\frac{OA}{2} \le \frac{OA - PQ}{2} \le \frac{OA}{2} $ $ -OA \le OA - PQ \le OA $

Из правой части $ OA - PQ \le OA $ следует $ -PQ \le 0 $, что верно. Из левой части $ -OA \le OA - PQ $ следует $ PQ \le 2 \cdot OA $.

Таким образом, условие существования решения — $ PQ \le 2 \cdot OA $.

• Если $ PQ < 2 \cdot OA $, то окружности $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $ пересекаются в двух точках $ H_1 $ и $ H_2 $. Это дает две различные хорды (симметричные относительно прямой $ OA $). Два решения.
• Если $ PQ = 2 \cdot OA $, то $ \frac{PQ}{2} = OA $. Окружности касаются в одной точке $ H=O $. В этом случае искомая хорда проходит через центр $ O $ и точку $ A $, то есть является диаметром. Одно решение.
• Если $ PQ > 2 \cdot OA $, то окружности не пересекаются, и построение невозможно. Нет решений.

Ответ: Задача имеет два решения при $ PQ < 2 \cdot OA $, одно решение при $ PQ = 2 \cdot OA $ и не имеет решений при $ PQ > 2 \cdot OA $.