Номер 453, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 453, страница 120.

453 Даны две равные окружности с центрами О₁ и О₂, имеющие одну общую точку (такие окружности называются касающимися). Прямая m является касательной к каждой из них в точках А и В соответственно. Докажите, что отрезок АВ равен отрезку О₁О₂.

Пусть $R$ — радиус данных равных окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$. Прямая $m$ является общей касательной к первой окружности в точке $A$ и ко второй — в точке $B$.

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, отрезок $O_1A$ перпендикулярен прямой $m$, и отрезок $O_2B$ также перпендикулярен прямой $m$.

Из этого следует, что $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$, а значит, углы $\angle O_1AB$ и $\angle O_2BA$ являются прямыми и равны $90^\circ$.

Поскольку прямые $O_1A$ и $O_2B$ обе перпендикулярны одной и той же прямой $m$, они параллельны между собой: $O_1A \parallel O_2B$.

Рассмотрим четырехугольник $ABO_2O_1$. В этом четырехугольнике стороны $O_1A$ и $O_2B$ являются противолежащими. Мы установили, что они параллельны. Кроме того, их длины равны, так как они являются радиусами данных равных окружностей: $O_1A = O_2B = R$.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABO_2O_1$ — параллелограмм.

Поскольку у параллелограмма $ABO_2O_1$ есть прямой угол (например, $\angle O_1AB = 90^\circ$), то этот параллелограмм является прямоугольником.

В прямоугольнике противолежащие стороны равны. В четырехугольнике $ABO_2O_1$ сторона $AB$ является противолежащей стороне $O_1O_2$. Значит, их длины равны: $AB = O_1O_2$.

Таким образом, доказано, что отрезок $AB$ равен отрезку $O_1O_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев четырехугольник $ABO_2O_1$, образованный центрами окружностей и точками касания, было показано, что он является прямоугольником. Из свойства прямоугольника (равенство противолежащих сторон) следует, что $AB = O_1O_2$.