Номер 454, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 454, страница 120.

454 Даны две окружности, не имеющие общих точек. Постройте их общую касательную. Сколько таких касательных можно построить?

Задача состоит из двух частей: построение общей касательной и определение количества возможных касательных для двух окружностей, не имеющих общих точек.

Построение общей касательной

Общие касательные бывают двух видов: внешние (окружности лежат по одну сторону от касательной) и внутренние (окружности лежат по разные стороны от касательной). Рассмотрим алгоритм построения для каждого вида.

Пусть даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Для определенности предположим, что $R_1 > R_2$.

Построение внешней касательной:

1. Построим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$.
2. Из точки $O_2$ проведем касательную к окружности $\omega_3$. Для этого:
   • Найдем середину $M$ отрезка $O_1O_2$.
   • Построим окружность с центром в $M$ и диаметром $O_1O_2$.
   • Точка пересечения этой окружности с окружностью $\omega_3$ будет точкой касания, назовем ее $A$.
3. Проведем луч $O_1A$. Точка его пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $K_1$.
4. Проведем через точку $O_2$ прямую, параллельную радиусу $O_1K_1$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\omega_2$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $K_2$. Важно, чтобы радиус $O_2K_2$ был сонаправлен с $O_1K_1$.
5. Прямая, проходящая через точки $K_1$ и $K_2$, является искомой внешней касательной.

Построение внутренней касательной:

1. Построим вспомогательную окружность $\omega_4$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r' = R_1 + R_2$.
2. Из точки $O_2$ проведем касательную к окружности $\omega_4$ (аналогично пункту 2 из предыдущего алгоритма). Пусть точка касания — $B$.
3. Проведем радиус $O_1B$. Точка его пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $L_1$.
4. Проведем через точку $O_2$ прямую, параллельную радиусу $O_1L_1$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\omega_2$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $L_2$. В данном случае радиус $O_2L_2$ должен быть направлен в противоположную сторону от $O_1L_1$.
5. Прямая, проходящая через точки $L_1$ и $L_2$, является искомой внутренней касательной.

Ответ: Построение выполняется с помощью вспомогательной окружности, радиус которой равен разности (для внешней касательной) или сумме (для внутренней касательной) радиусов исходных окружностей. Затем строится касательная из центра одной окружности к вспомогательной, и эта конструкция переносится на исходные окружности.

Количество возможных касательных

Условие "не имеющие общих точек" означает два возможных случая взаимного расположения окружностей. Пусть $d$ — расстояние между центрами окружностей $O_1$ и $O_2$.

1. Одна окружность находится вне другой.
   Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$. В этом случае можно построить четыре общие касательные:
   • Две внешние (по одной с каждой стороны от линии центров).
   • Две внутренние (пересекающие линию центров между окружностями).
2. Одна окружность находится внутри другой.
   Это происходит, когда расстояние между центрами меньше разности их радиусов: $d < |R_1 - R_2|$. В этом случае общих касательных построить невозможно.

Поскольку в условии задачи предлагается построить касательную, подразумевается случай, когда это возможно.

Ответ: Если одна окружность расположена вне другой, можно построить 4 общие касательные (2 внешние и 2 внутренние). Если одна окружность расположена внутри другой, общих касательных нет (0).