Номер 454, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 454, страница 120.

Условие.

454 Даны две окружности, не имеющие общих точек. Постройте их общую касательную. Сколько таких касательных можно построить?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Задача состоит из двух частей: построение общей касательной и определение количества возможных касательных для двух окружностей, не имеющих общих точек.

Построение общей касательной

Общие касательные бывают двух видов: внешние (окружности лежат по одну сторону от касательной) и внутренние (окружности лежат по разные стороны от касательной). Рассмотрим алгоритм построения для каждого вида.

Пусть даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Для определенности предположим, что $R_1 > R_2$.

Построение внешней касательной:

1. Построим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$.
2. Из точки $O_2$ проведем касательную к окружности $\omega_3$. Для этого:
   • Найдем середину $M$ отрезка $O_1O_2$.
   • Построим окружность с центром в $M$ и диаметром $O_1O_2$.
   • Точка пересечения этой окружности с окружностью $\omega_3$ будет точкой касания, назовем ее $A$.
3. Проведем луч $O_1A$. Точка его пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $K_1$.
4. Проведем через точку $O_2$ прямую, параллельную радиусу $O_1K_1$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\omega_2$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $K_2$. Важно, чтобы радиус $O_2K_2$ был сонаправлен с $O_1K_1$.
5. Прямая, проходящая через точки $K_1$ и $K_2$, является искомой внешней касательной.

Построение внутренней касательной:

1. Построим вспомогательную окружность $\omega_4$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r' = R_1 + R_2$.
2. Из точки $O_2$ проведем касательную к окружности $\omega_4$ (аналогично пункту 2 из предыдущего алгоритма). Пусть точка касания — $B$.
3. Проведем радиус $O_1B$. Точка его пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $L_1$.
4. Проведем через точку $O_2$ прямую, параллельную радиусу $O_1L_1$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\omega_2$ будет точкой касания для нее. Назовем эту точку $L_2$. В данном случае радиус $O_2L_2$ должен быть направлен в противоположную сторону от $O_1L_1$.
5. Прямая, проходящая через точки $L_1$ и $L_2$, является искомой внутренней касательной.

Ответ: Построение выполняется с помощью вспомогательной окружности, радиус которой равен разности (для внешней касательной) или сумме (для внутренней касательной) радиусов исходных окружностей. Затем строится касательная из центра одной окружности к вспомогательной, и эта конструкция переносится на исходные окружности.

Количество возможных касательных

Условие "не имеющие общих точек" означает два возможных случая взаимного расположения окружностей. Пусть $d$ — расстояние между центрами окружностей $O_1$ и $O_2$.

1. Одна окружность находится вне другой.
   Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$. В этом случае можно построить четыре общие касательные:
   • Две внешние (по одной с каждой стороны от линии центров).
   • Две внутренние (пересекающие линию центров между окружностями).
2. Одна окружность находится внутри другой.
   Это происходит, когда расстояние между центрами меньше разности их радиусов: $d < |R_1 - R_2|$. В этом случае общих касательных построить невозможно.

Поскольку в условии задачи предлагается построить касательную, подразумевается случай, когда это возможно.

Ответ: Если одна окружность расположена вне другой, можно построить 4 общие касательные (2 внешние и 2 внутренние). Если одна окружность расположена внутри другой, общих касательных нет (0).