Номер 451, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 451, страница 120.

451 Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

Постройте точку, равноудалённую от этих прямых.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.
По условию, три прямые попарно пересекаются, не проходя через одну точку. Это означает, что данные прямые образуют треугольник. Обозначим этот треугольник как $\triangle ABC$. Искомая точка должна быть равноудалена от всех трех прямых (сторон треугольника).
Следовательно, такая точка должна лежать на пересечении биссектрис углов, образованных этими прямыми. Существует два типа таких точек:

1. Центр вписанной окружности (инцентр). Эта точка лежит внутри треугольника и равноудалена от всех трех его сторон. Для ее построения необходимо:
а) Построить биссектрисы двух любых внутренних углов треугольника (например, углов A и B).
б) Точка пересечения этих биссектрис и будет первой искомой точкой. Она является центром окружности, вписанной в треугольник.

2. Центры вневписанных окружностей (эксцентры). Этих точек три, и каждая из них равноудалена от одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Для построения одной из таких точек (например, лежащей напротив вершины А) необходимо:
а) Построить биссектрису одного внутреннего угла (например, угла А).
б) Построить биссектрису одного из внешних углов при другой вершине (например, внешнего угла при вершине В).
в) Точка пересечения этих биссектрис будет второй искомой точкой. Повторив процедуру для других пар углов (внутреннего при В и внешнего при С; внутреннего при С и внешнего при А), можно найти две другие точки.

Таким образом, любая из этих четырех точек (центр вписанной и три центра вневписанных окружностей) удовлетворяет условию задачи.
Ответ: Искомая точка является точкой пересечения биссектрис углов, образованных данными прямыми. Например, можно построить биссектрисы двух внутренних углов треугольника, образованного прямыми. Точка их пересечения будет решением.

Сколько решений имеет задача?

Как показано в анализе выше, существует несколько точек, удовлетворяющих условию. Каждая из них является центром окружности, касающейся трех данных прямых.

• Одна точка — это центр вписанной окружности, который является точкой пересечения трех биссектрис внутренних углов треугольника.
• Три точки — это центры трех вневписанных окружностей. Каждая такая точка является пересечением биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов.

Таким образом, всего существует 4 точки, равноудаленные от трех данных прямых.
Ответ: Задача имеет 4 решения.