Номер 457, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 457, страница 120.

457 Даны окружность, прямая m, а также точка A на прямой m. Постройте окружность, касающуюся прямой m в точке А и данной окружности.

Задача заключается в построении окружности $C_x$ с центром $O_x$ и радиусом $R_x$, которая касается данной прямой $m$ в точке $A$ и данной окружности $C_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$.

Решение можно разбить на три этапа: анализ, построение и исследование числа решений.

Анализ

Пусть искомая окружность $C_x$ имеет центр $O_x$ и радиус $R_x$.

1. Из условия, что окружность $C_x$ касается прямой $m$ в точке $A$, следует, что ее центр $O_x$ должен лежать на прямой $p$, перпендикулярной прямой $m$ и проходящей через точку $A$. Радиус искомой окружности равен расстоянию от ее центра до точки касания, то есть $R_x = O_x A$.
2. Из условия, что окружность $C_x$ касается данной окружности $C_1$, следует, что расстояние между их центрами $O_1O_x$ равно сумме или разности их радиусов:
   • Внешнее касание: $O_1O_x = R_1 + R_x$.
   • Внутреннее касание: $O_1O_x = |R_1 - R_x|$.

Для нахождения центра $O_x$ введем систему координат. Пусть прямая $m$ является осью абсцисс ($Ox$), а перпендикулярная ей прямая $p$ — осью ординат ($Oy$). Тогда точка $A$ будет началом координат $(0, 0)$. Центр искомой окружности $O_x$ будет иметь координаты $(0, y_x)$, а ее радиус будет $R_x = |y_x|$. Пусть центр данной окружности $C_1$ имеет координаты $O_1(a, b)$, а ее радиус равен $R_1$. Величины $a$, $b$ и $R_1$ можно построить циркулем и линейкой по исходным данным.

Рассмотрим уравнение касания. Расстояние между центрами $O_1(a, b)$ и $O_x(0, y_x)$ равно $O_1O_x = \sqrt{(a-0)^2 + (b-y_x)^2} = \sqrt{a^2 + (b-y_x)^2}$.

Подставим это в условия касания. Рассмотрим случай, когда центр искомой окружности лежит в полуплоскости, где $y>0$, тогда $R_x = y_x$.

1) Внешнее касание: $O_1O_x = R_1 + R_x = R_1 + y_x$.
$\sqrt{a^2 + (b-y_x)^2} = R_1 + y_x$. Возведем в квадрат:
$a^2 + b^2 - 2by_x + y_x^2 = R_1^2 + 2R_1y_x + y_x^2$.
$a^2 + b^2 - R_1^2 = 2by_x + 2R_1y_x = 2(b+R_1)y_x$, откуда $y_x = \frac{a^2+b^2-R_1^2}{2(b+R_1)}$.

2) Внутреннее касание: $O_1O_x = |R_1 - R_x| = |R_1 - y_x|$.
$\sqrt{a^2 + (b-y_x)^2} = |R_1 - y_x|$. Возведем в квадрат:
$a^2 + (b-y_x)^2 = (R_1 - y_x)^2 = R_1^2 - 2R_1y_x + y_x^2$.
$a^2 + b^2 - R_1^2 = 2by_x - 2R_1y_x = 2(b-R_1)y_x$, откуда $y_x = \frac{a^2+b^2-R_1^2}{2(b-R_1)}$.

Эти формулы позволяют найти координату $y_x$ центра искомой окружности, построив отрезки, соответствующие числителю и знаменателю, а затем их отношение. Заметим, что $a^2+b^2 = (O_1A)^2$, то есть квадрату расстояния от точки $A$ до центра $O_1$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

1. Проводим через точку $A$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $m$. Это геометрическое место центров искомых окружностей.
2. Определяем величины $a$, $b$, $R_1$:
   • $R_1$ — радиус данной окружности $C_1$.
   • Опускаем перпендикуляр из центра $O_1$ на прямую $m$. Пусть основание перпендикуляра — точка $H$. Тогда $b = O_1H$.
   • $a = AH$.
3. Строим отрезок $L$, квадрат длины которого равен числителю $N = a^2+b^2-R_1^2 = (O_1A)^2 - R_1^2$.
   • Строим отрезок $d = O_1A$.
   • Если $d > R_1$ (точка $A$ вне окружности $C_1$), строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$ и катетом $R_1$. Второй катет будет иметь длину $L = \sqrt{d^2 - R_1^2}$. Тогда $N = L^2$.
   • Если $d < R_1$ (точка $A$ внутри окружности $C_1$), строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $R_1$ и катетом $d$. Второй катет будет иметь длину $L' = \sqrt{R_1^2 - d^2}$. В этом случае числитель $N = -L'^2$ будет отрицательным.
   • Если $d=R_1$, числитель равен нулю.
4. Строим отрезки, равные знаменателям: $D_1 = 2(b+R_1)$ и $D_2 = 2(b-R_1)$. Это элементарные построения сложения, вычитания и удвоения отрезков.
5. Строим отрезки $y_x$ — ординаты центров искомых окружностей. Нам нужно построить величину вида $y = \frac{L^2}{D}$. Это можно сделать с помощью подобных треугольников.
   • Проводим две пересекающиеся в точке $V$ прямые.
   • На одной прямой откладываем отрезки $VD = D$ и $VL_1 = L$.
   • На второй прямой откладываем отрезок $VL_2 = L$.
   • Соединяем точки $D$ и $L_2$.
   • Проводим через точку $L_1$ прямую, параллельную $DL_2$. Точка ее пересечения со второй прямой, пусть это $Y$, даст отрезок $VY = y$. Из подобия треугольников $\triangle VYL_1 \sim \triangle VL_2D$ следует $\frac{VY}{VL_1} = \frac{VL_2}{VD}$, то есть $\frac{y}{L} = \frac{L}{D}$, откуда $y = \frac{L^2}{D}$.
   Повторяем это построение для обоих знаменателей ($D_1$ и $D_2$), получая до двух различных значений для $y_x$. Если числитель был отрицательным ($N=-L'^2$), то $y_x = \frac{-L'^2}{D}$, и знак $y_x$ будет противоположен знаку $D$.
6. Откладываем полученные отрезки $y_x$ на прямой $p$ от точки $A$. Концы этих отрезков — центры $O_x$ искомых окружностей. Положительные значения $y_x$ откладываются в одну полуплоскость от прямой $m$, отрицательные — в другую.
7. Для каждого найденного центра $O_x$ строим окружность радиусом $R_x = |y_x| = O_xA$.

Исследование

В зависимости от взаимного расположения окружности $C_1$, прямой $m$ и точки $A$, задача может иметь разное число решений (от 0 до 4, так как решения могут быть по обе стороны от прямой $m$).

• Два решения: Это общий случай, когда $A$ не лежит на $C_1$, и $C_1$ не касается прямой $m$. Обычно существуют две окружности, лежащие в одной полуплоскости относительно $m$. Одна касается $C_1$ внешне, другая — внутренне.
• Одно решение: Это возможно в вырожденных случаях. Например, если $A$ лежит на окружности $C_1$, то одно из решений — точечная окружность в точке $A$ (радиус 0).
• Нет решений: Если, например, окружность $C_1$ очень маленькая и находится далеко от прямой $m$, может не найтись окружности, удовлетворяющей условиям.
• Бесконечно много решений: Этот случай возникает, если данная окружность $C_1$ уже касается прямой $m$ в точке $A$. Тогда любая окружность, касающаяся $m$ в точке $A$ и лежащая с той же стороны, что и $C_1$, будет касаться и $C_1$. В наших формулах это соответствует случаю неопределенности $0/0$.

Таким образом, построив величины $y_x$ по приведенным формулам, мы находим все возможные центры искомых окружностей.

Ответ: Задача решается путем сведения к алгебраическим уравнениям, которые затем решаются геометрически с помощью циркуля и линейки. Алгоритм построения описан выше. В общем случае задача имеет два решения (если рассматривать окружности по одну сторону от прямой).