Номер 459, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 459, страница 120.

Условие.

459 Даны острый угол и его внутренняя точка А. Постройте на сторонах угла такие точки В и С, чтобы периметр треугольника АВС был наименьшим.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для решения задачи о нахождении треугольника наименьшего периметра воспользуемся методом осевой симметрии. Искомый периметр $P$ треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон $P = AB + BC + CA$. Точка $A$ зафиксирована, а точки $B$ и $C$ могут перемещаться по сторонам заданного острого угла. Обозначим стороны угла как $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $B$ лежит на $l_1$, а точка $C$ — на $l_2$.

Ключевая идея состоит в том, чтобы "распрямить" ломаную, из которой состоит периметр. Для этого отразим точку $A$ симметрично относительно обеих сторон угла. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно стороны $l_1$. По свойству осевой симметрии, для любой точки $B$ на прямой $l_1$ расстояние до $A$ равно расстоянию до $A'$, то есть $AB = A'B$. Аналогично, построим точку $A''$, симметричную точке $A$ относительно стороны $l_2$. Тогда для любой точки $C$ на прямой $l_2$ будет выполняться равенство $AC = A''C$.

Теперь мы можем переписать формулу периметра, используя построенные точки:$P = AB + BC + CA = A'B + BC + CA''$.Эта сумма представляет собой длину ломаной линии $A'BCA''$. Длина этой ломаной зависит от положения точек $B$ и $C$. Точки $A'$ и $A''$ являются фиксированными, так как их положение определяется только исходной точкой $A$ и сторонами угла. Кратчайшее расстояние между двумя фиксированными точками $A'$ и $A''$ — это длина отрезка прямой, соединяющего их. Следовательно, периметр $P$ будет наименьшим, когда точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $A'A''$.

Таким образом, искомые точки $B$ и $C$ — это точки пересечения отрезка $A'A''$ со сторонами угла $l_1$ и $l_2$ соответственно. Минимальный периметр при этом равен длине отрезка $A'A''$. Для любых других точек $B_1$ на $l_1$ и $C_1$ на $l_2$ периметр $P_1 = A'B_1 + B_1C_1 + C_1A''$ будет не меньше длины $A'A''$ по свойству кратчайшего пути. Условие, что угол является острым, необходимо для того, чтобы отрезок $A'A''$ пересекал именно лучи, являющиеся сторонами угла, а не их продолжения. В случае прямого или тупого угла наименьший периметр достигался бы, если бы точки $B$ и $C$ совпали с вершиной угла.

Ответ:
Чтобы построить точки $B$ и $C$ на сторонах угла для получения треугольника $ABC$ с наименьшим периметром, необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно одной стороны угла.
2. Построить точку $A''$, симметричную точке $A$ относительно другой стороны угла.
3. Соединить точки $A'$ и $A''$ отрезком прямой.
Точки пересечения этого отрезка со сторонами угла и будут искомыми точками $B$ и $C$.