Номер 465, страница 123 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Многоугольники. 47. Четырёхугольник. Глава 6. Четырехугольники - номер 465, страница 123.

465 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Для того чтобы найти количество сторон выпуклого многоугольника, у которого все углы равны, можно воспользоваться формулой для внутреннего угла правильного n-угольника. Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника равна $(n - 2) \cdot 180^\circ$. Так как в данном многоугольнике все $n$ углов равны, то величина одного угла $\alpha$ составляет:
$\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$
Наша задача — найти $n$, зная $\alpha$. Выразим $n$ из этой формулы:
$\alpha \cdot n = 180^\circ \cdot n - 360^\circ$
$180^\circ \cdot n - \alpha \cdot n = 360^\circ$
$n(180^\circ - \alpha) = 360^\circ$
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$
Величина $180^\circ - \alpha$ — это внешний угол многоугольника. Таким образом, количество сторон $n$ можно найти, разделив $360^\circ$ на величину внешнего угла. Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) Дан угол $\alpha = 90^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 90^\circ} = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$
Следовательно, это четырехугольник (квадрат).
Ответ: 4.

б) Дан угол $\alpha = 60^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 60^\circ} = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$
Следовательно, это треугольник (равносторонний).
Ответ: 3.

в) Дан угол $\alpha = 120^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 120^\circ} = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$
Следовательно, это шестиугольник (правильный).
Ответ: 6.

г) Дан угол $\alpha = 108^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 108^\circ} = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$
Следовательно, это пятиугольник (правильный).
Ответ: 5.