Страница 123 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

462 Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?

Выпуклый пятиугольник

Рассмотрим выпуклый пятиугольник. Это многоугольник с 5 вершинами и 5 сторонами. Выберем одну из его вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к ней самой и к двум соседним вершинам. Следовательно, из одной вершины пятиугольника можно провести диагонали к $5 - 3 = 2$ другим вершинам.
Эти две диагонали разделяют пятиугольник на 3 треугольника. В общем случае, количество треугольников, на которые диагонали, проведенные из одной вершины, разделяют выпуклый n-угольник, равно $n-2$. Для пятиугольника ($n=5$) это будет $5 - 2 = 3$ треугольника.
Ответ: Проведенные диагонали разделяют пятиугольник на 3 треугольника.

Выпуклый шестиугольник

Рассмотрим выпуклый шестиугольник. У него 6 вершин. Аналогично пятиугольнику, выберем одну вершину и проведем из нее все возможные диагонали. Количество вершин, к которым можно провести диагонали из одной выбранной, равно $6 - 3 = 3$.
Эти три диагонали разделяют шестиугольник на 4 треугольника. Применяя общую формулу $n-2$ для шестиугольника ($n=6$), получаем $6 - 2 = 4$ треугольника.
Ответ: Проведенные диагонали разделяют шестиугольник на 4 треугольника.

463 Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника.

Для нахождения суммы углов выпуклого n-угольника используется теорема о сумме углов многоугольника. Формула для расчета выглядит следующим образом:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

где $n$ — это количество сторон (и, соответственно, углов) многоугольника.

Применим эту формулу для каждого из указанных случаев.

а) пятиугольника

У выпуклого пятиугольника 5 сторон, следовательно, $n=5$.

Подставляем значение $n=5$ в формулу:

$S_5 = (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

Ответ: $540^\circ$.

б) шестиугольника

У выпуклого шестиугольника 6 сторон, следовательно, $n=6$.

Подставляем значение $n=6$ в формулу:

$S_6 = (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Ответ: $720^\circ$.

в) десятиугольника

У выпуклого десятиугольника 10 сторон, следовательно, $n=10$.

Подставляем значение $n=10$ в формулу:

$S_{10} = (10-2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$.

Ответ: $1440^\circ$.

464 Найдите количество диагоналей а) выпуклого пятиугольника, б) выпуклого двенадцатиугольника, в) выпуклого двадцатипятиугольника.

Для нахождения количества диагоналей выпуклого многоугольника с $n$ вершинами (или $n$-угольника) используется общая формула. Разберем, как она выводится. Диагональ — это отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

Из каждой вершины $n$-угольника можно провести отрезки ко всем остальным вершинам. Всего вершин $n$, значит, из одной вершины можно провести отрезки к $n-1$ другим вершинам. Два из этих отрезков являются сторонами многоугольника (они соединяют выбранную вершину с двумя соседними). Остальные отрезки являются диагоналями. Таким образом, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Если мы умножим количество вершин $n$ на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины $(n-3)$, мы получим $n(n-3)$. Однако при таком подсчете каждая диагональ (например, AC) будет учтена дважды: один раз как выходящая из вершины A, и второй раз как выходящая из вершины C. Поэтому, чтобы получить истинное количество диагоналей, результат нужно разделить на 2.

Итоговая формула для вычисления количества диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике:

$$D = \frac{n(n-3)}{2}$$

Теперь решим задачу для каждого случая, используя эту формулу.

а) выпуклого пятиугольника

Для выпуклого пятиугольника количество вершин $n = 5$. Подставим это значение в формулу:

$$D_5 = \frac{5 \cdot (5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$$

Ответ: 5

б) выпуклого двенадцатиугольника

Для выпуклого двенадцатиугольника количество вершин $n = 12$. Подставим это значение в формулу:

$$D_{12} = \frac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 6 \cdot 9 = 54$$

Ответ: 54

в) выпуклого двадцатипятиугольника

Для выпуклого двадцатипятиугольника количество вершин $n = 25$. Подставим это значение в формулу:

$$D_{25} = \frac{25 \cdot (25 - 3)}{2} = \frac{25 \cdot 22}{2} = 25 \cdot 11 = 275$$

Ответ: 275

465 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Для того чтобы найти количество сторон выпуклого многоугольника, у которого все углы равны, можно воспользоваться формулой для внутреннего угла правильного n-угольника. Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника равна $(n - 2) \cdot 180^\circ$. Так как в данном многоугольнике все $n$ углов равны, то величина одного угла $\alpha$ составляет:
$\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$
Наша задача — найти $n$, зная $\alpha$. Выразим $n$ из этой формулы:
$\alpha \cdot n = 180^\circ \cdot n - 360^\circ$
$180^\circ \cdot n - \alpha \cdot n = 360^\circ$
$n(180^\circ - \alpha) = 360^\circ$
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$
Величина $180^\circ - \alpha$ — это внешний угол многоугольника. Таким образом, количество сторон $n$ можно найти, разделив $360^\circ$ на величину внешнего угла. Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) Дан угол $\alpha = 90^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 90^\circ} = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$
Следовательно, это четырехугольник (квадрат).
Ответ: 4.

б) Дан угол $\alpha = 60^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 60^\circ} = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$
Следовательно, это треугольник (равносторонний).
Ответ: 3.

в) Дан угол $\alpha = 120^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 120^\circ} = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$
Следовательно, это шестиугольник (правильный).
Ответ: 6.

г) Дан угол $\alpha = 108^\circ$.
Найдем количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 108^\circ} = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$
Следовательно, это пятиугольник (правильный).
Ответ: 5.

466 Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

Для решения задачи необходимо привести все единицы измерения к одной. Поскольку разницы между сторонами даны в миллиметрах (мм), переведем периметр из сантиметров (см) в миллиметры.

Периметр $P = 8$ см. Так как 1 см = 10 мм, то:

$P = 8 \text{ см} \times 10 = 80 \text{ мм}$.

Периметр четырехугольника — это сумма длин всех его четырех сторон. Обозначим стороны как $a_1, a_2, a_3, a_4$.

$P = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$.

В условии сказано, что одна сторона больше каждой из других сторон. Обозначим эту наибольшую сторону через $x$. Тогда остальные три стороны можно выразить через $x$:

Вторая сторона: $x - 3$ мм.

Третья сторона: $x - 4$ мм.

Четвертая сторона: $x - 5$ мм.

Теперь мы можем составить уравнение для периметра, подставив в него выражения для всех сторон:

$x + (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) = 80$.

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 3 - 4 - 5 = 80$

$4x - 12 = 80$

Перенесем -12 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$4x = 80 + 12$

$4x = 92$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{92}{4}$

$x = 23$ мм.

Итак, длина наибольшей стороны равна 23 мм. Теперь вычислим длины остальных сторон:

Вторая сторона: $23 - 3 = 20$ мм.

Третья сторона: $23 - 4 = 19$ мм.

Четвертая сторона: $23 - 5 = 18$ мм.

Проведем проверку: сложим длины всех сторон, чтобы убедиться, что их сумма равна периметру.

$23 + 20 + 19 + 18 = 80$ мм. Это совпадает с заданным периметром.

Ответ: стороны четырехугольника равны 23 мм, 20 мм, 19 мм и 18 мм.

467 Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая — в 3 раза больше второй.

Пусть длина второй стороны четырёхугольника равна $x$ см.

Согласно условию задачи, выразим длины остальных сторон через $x$:

• Первая сторона больше второй на 8 см, следовательно, её длина равна $(x + 8)$ см.

• Первая сторона меньше третьей на 8 см, это означает, что третья сторона больше первой на 8 см. Её длина равна $(x + 8) + 8 = (x + 16)$ см.

• Четвёртая сторона в 3 раза больше второй, значит, её длина равна $3x$ см.

Периметр четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 66 см. Составим уравнение:

$(x + 8) + x + (x + 16) + 3x = 66$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала сгруппируем слагаемые с $x$ и числовые слагаемые:

$(x + x + x + 3x) + (8 + 16) = 66$

$6x + 24 = 66$

Перенесём 24 в правую часть уравнения:

$6x = 66 - 24$

$6x = 42$

$x = \frac{42}{6}$

$x = 7$

Таким образом, мы нашли длину второй стороны: она равна 7 см.

Теперь вычислим длины остальных сторон:

• Первая сторона: $x + 8 = 7 + 8 = 15$ см.

• Третья сторона: $x + 16 = 7 + 16 = 23$ см.

• Четвёртая сторона: $3x = 3 \cdot 7 = 21$ см.

Проверим, соответствует ли сумма найденных сторон заданному периметру: $15 + 7 + 23 + 21 = 66$ см. Все верно.

Ответ: первая сторона — 15 см, вторая сторона — 7 см, третья сторона — 23 см, четвёртая сторона — 21 см.

468 Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S = (n-2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество углов (или сторон) многоугольника.

Для четырёхугольника $n=4$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сумму его углов:
$S = (4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

По условию задачи все четыре угла выпуклого четырёхугольника равны друг другу. Обозначим величину каждого из этих равных углов через $x$.

Сумма четырёх равных углов будет равна $x + x + x + x = 4x$.

Так как мы знаем, что общая сумма углов равна $360^\circ$, мы можем составить уравнение:
$4x = 360^\circ$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$x = \frac{360^\circ}{4}$
$x = 90^\circ$

Таким образом, каждый угол данного четырёхугольника равен $90^\circ$. Такой фигурой является прямоугольник.

Ответ: все углы равны $90^\circ$.

469 Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, а ∠D = 135°.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Для четырёхугольника $ABCD$ это можно записать в виде формулы:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Согласно условию задачи, три угла равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$. Четвёртый угол известен: $\angle D = 135^\circ$.
Обозначим величину каждого из равных углов переменной $x$. Таким образом, $\angle A = \angle B = \angle C = x$.

Подставим эти значения в формулу суммы углов четырёхугольника:
$x + x + x + 135^\circ = 360^\circ$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$3x + 135^\circ = 360^\circ$
Перенесём $135^\circ$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$3x = 360^\circ - 135^\circ$
$3x = 225^\circ$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{225^\circ}{3}$
$x = 75^\circ$

Мы нашли, что $x = 75^\circ$. Так как $\angle A = \angle B = \angle C = x$, то каждый из этих углов равен $75^\circ$.
$\angle A = 75^\circ$
$\angle B = 75^\circ$
$\angle C = 75^\circ$

Для проверки можно сложить все углы: $75^\circ + 75^\circ + 75^\circ + 135^\circ = 225^\circ + 135^\circ = 360^\circ$. Сумма верна.

Ответ: $\angle A = 75^\circ, \angle B = 75^\circ, \angle C = 75^\circ$.

470 Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.

Согласно условию задачи, углы четырёхугольника пропорциональны числам 1, 2, 4, 5. Обозначим коэффициент пропорциональности как $x$. Тогда градусные меры углов можно выразить как $1x$ (или просто $x$), $2x$, $4x$ и $5x$.

Составим уравнение, приравняв сумму этих углов к $360^\circ$:

$x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1 + 2 + 4 + 5)x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12:

$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь, зная значение $x$, мы можем вычислить каждый угол:

Первый угол: $1 \cdot x = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$
Второй угол: $2 \cdot x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $4 \cdot x = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
Четвертый угол: $5 \cdot x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

Все найденные углы меньше $180^\circ$, что соответствует условию выпуклого четырёхугольника.

Ответ: углы четырёхугольника равны $30^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 150^\circ$.