Страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

473 Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть в параллелограмме `ABCD` стороны равны `BC = AD` и `AB = CD`.

Периметр параллелограмма `P` вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$. По условию задачи $P = 50$ см, следовательно, сумма двух смежных сторон равна половине периметра: $AB + BC = \frac{P}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `BHC`. Он образован высотой `BH` (перпендикуляром к прямой `CD`), стороной `BC` и отрезком `CH` на прямой `CD`. В этом треугольнике `BH` является катетом, а `BC` — гипотенузой. Угол `?C` по условию равен $30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике `BHC` катет `BH` лежит как раз напротив угла `?C`. Таким образом, мы можем записать: $BH = \frac{1}{2} BC$

Из условия известно, что `BH = 6,5` см. Подставим это значение в полученное равенство, чтобы найти длину стороны `BC`: $6,5 = \frac{1}{2} BC$ $BC = 6,5 \cdot 2 = 13$ см.

Теперь, когда мы знаем длину одной стороны (`BC = 13` см), мы можем найти длину смежной с ней стороны `AB` (или `CD`), используя соотношение для полупериметра: $AB + BC = 25$ $AB + 13 = 25$ $AB = 25 - 13 = 12$ см.

Итак, стороны параллелограмма равны `AB = CD = 12` см и `BC = AD = 13` см.

Ответ: 12 см и 13 см.

474 Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K. Найдите периметр этого параллелограмма, если BK = 15 см, KC = 9 см.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AK$ — биссектриса угла $A$, $K \in BC$.
$BK = 15$ см, $KC = 9$ см.

1. Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ делит сторону $BC$ на два отрезка, поэтому длина всей стороны равна их сумме:
$BC = BK + KC = 15 + 9 = 24$ см.

2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AK$. Углы $\angle BKA$ и $\angle KAD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BKA = \angle KAD$.

3. По условию, $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла:
$\angle BAK = \angle KAD$.

4. Сопоставив равенства из пунктов 2 и 3, получаем:
$\angle BKA = \angle KAD$ и $\angle BAK = \angle KAD$, следовательно, $\angle BKA = \angle BAK$.

5. Рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку два его угла равны ($\angle BKA = \angle BAK$), он является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $AB = BK$.
Так как по условию $BK = 15$ см, то и сторона $AB = 15$ см.

6. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. Мы нашли длины сторон $AB$ и $BC$:
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (15 + 24) = 2 \cdot 39 = 78$ см.

Ответ: 78 см.

475 Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Пусть дан параллелограмм, у которого две смежные стороны равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Пусть биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

Так как $AK$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle BAK = \angle DAK$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $AK$ является секущей при этих параллельных прямых. Накрест лежащие углы при секущей равны, следовательно, $\angle BKA = \angle DAK$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$. Это свойство равнобедренного треугольника, значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный с основанием $AK$. Отсюда следует равенство боковых сторон: $AB = BK$.

По условию задачи, биссектриса делит сторону на отрезки 7 см и 14 см. Это значит, что длина всей этой стороны составляет $7 + 14 = 21$ см. Смежная с ней сторона, как мы доказали, равна одному из этих отрезков. В связи с этим возможны два случая.

Случай 1

Одна из сторон параллелограмма равна $21$ см, а смежная с ней сторона равна меньшему из отрезков, то есть $7$ см.

В этом случае стороны параллелограмма $a = 7$ см и $b = 21$ см.

Периметр равен: $P_1 = 2(7 + 21) = 2 \times 28 = 56$ см.

Случай 2

Одна из сторон параллелограмма равна $21$ см, а смежная с ней сторона равна большему из отрезков, то есть $14$ см.

В этом случае стороны параллелограмма $a = 14$ см и $b = 21$ см.

Периметр равен: $P_2 = 2(14 + 21) = 2 \times 35 = 70$ см.

Оба случая являются решением задачи.

Ответ: 56 см или 70 см.

476 Найдите углы параллелограмма ABCD, если:
а) ∠A = 84°; б) ∠A − ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C = 142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.

Для решения задачи будем использовать основные свойства углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° ($\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle C = 180^\circ$ и т.д.).
• Противоположные стороны параллельны ($AD \parallel BC$, $AB \parallel CD$).

а)

Дано, что $\angle A = 84^\circ$.

1. Так как в параллелограмме противолежащие углы равны, то $\angle C = \angle A = 84^\circ$.

2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Отсюда находим $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

3. Противолежащий угол $\angle D$ равен углу $\angle B$, поэтому $\angle D = \angle B = 96^\circ$.

Ответ: $\angle A = 84^\circ, \angle B = 96^\circ, \angle C = 84^\circ, \angle D = 96^\circ$.

б)

Дано, что $\angle A - \angle B = 55^\circ$. Также мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \angle A - \angle B = 55^\circ \\ \angle A + \angle B = 180^\circ \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(\angle A - \angle B) + (\angle A + \angle B) = 55^\circ + 180^\circ$

$2\angle A = 235^\circ$

$\angle A = \frac{235^\circ}{2} = 117.5^\circ$

Теперь найдем $\angle B$ из второго уравнения:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 117.5^\circ = 62.5^\circ$.

Противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 117.5^\circ$ и $\angle D = \angle B = 62.5^\circ$.

Ответ: $\angle A = 117.5^\circ, \angle B = 62.5^\circ, \angle C = 117.5^\circ, \angle D = 62.5^\circ$.

в)

Дано, что $\angle A + \angle C = 142^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, то есть $\angle A = \angle C$.

Заменим $\angle C$ на $\angle A$ в данном равенстве:

$\angle A + \angle A = 142^\circ$

$2\angle A = 142^\circ$

$\angle A = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ$.

Следовательно, $\angle C = 71^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$.

Противолежащий угол $\angle D$ равен углу $\angle B$, поэтому $\angle D = 109^\circ$.

Ответ: $\angle A = 71^\circ, \angle B = 109^\circ, \angle C = 71^\circ, \angle D = 109^\circ$.

г)

Дано, что $\angle A = 2\angle B$. Используем свойство о сумме углов, прилежащих к одной стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Подставим данное условие в это свойство:

$2\angle B + \angle B = 180^\circ$

$3\angle B = 180^\circ$

$\angle B = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Теперь найдем $\angle A$:

$\angle A = 2\angle B = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Противоположные углы равны: $\angle C = \angle A = 120^\circ$ и $\angle D = \angle B = 60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 120^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 120^\circ, \angle D = 60^\circ$.

д)

Дано: $\angle CAD = 16^\circ$ и $\angle ACD = 37^\circ$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$, образованный сторонами $AD$, $CD$ и диагональю $AC$. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол $\angle D$ параллелограмма:

$\angle D = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.

2. Так как в параллелограмме противолежащие углы равны, $\angle B = \angle D = 127^\circ$.

3. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а диагональ $AC$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = 16^\circ$.

4. Аналогично, стороны $AB$ и $CD$ параллельны, а $AC$ — секущая. Поэтому накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ равны: $\angle BAC = \angle ACD = 37^\circ$.

5. Теперь найдем полные углы $\angle A$ и $\angle C$ параллелограмма:

$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 37^\circ + 16^\circ = 53^\circ$.

$\angle C = \angle BCA + \angle ACD = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ$.

Ответ: $\angle A = 53^\circ, \angle B = 127^\circ, \angle C = 53^\circ, \angle D = 127^\circ$.

477 В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNH$. Он является прямоугольным, поскольку по условию $NH$ — перпендикуляр к прямой $MQ$, следовательно, $\angle NHM = 90^\circ$.

Стороны параллелограмма

В прямоугольном треугольнике $\triangle MNH$ известны катет $MH = 3$ см и острый угол $\angle MNH = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $MN$, которая также является стороной параллелограмма. Согласно определению синуса:

$\sin(\angle MNH) = \frac{MH}{MN}$

Выразим $MN$:

$MN = \frac{MH}{\sin(\angle MNH)} = \frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $PQ = MN = 6$ см.

По условию, точка $H$ лежит на стороне $MQ$, поэтому длина этой стороны равна сумме длин отрезков $MH$ и $HQ$.

$MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см.

Противолежащая сторона $NP$ равна $MQ$, следовательно $NP = 8$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см ($MN = PQ = 6$ см, $MQ = NP = 8$ см).

Углы параллелограмма

Угол $\angle M$ параллелограмма совпадает с углом $\angle HMN$ в треугольнике $\triangle MNH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle M = \angle HMN = 90^\circ - \angle MNH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.

Следовательно, $\angle P = \angle M = 60^\circ$.

$\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\angle Q = \angle N = 120^\circ$.

Ответ: Углы параллелограмма равны $60^\circ$ и $120^\circ$ ($\angle M = \angle P = 60^\circ$, $\angle N = \angle Q = 120^\circ$).

478 Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Решение

Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 188) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую AB. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой AB, так как AB || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой AB. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой AB. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.

Решение

Для доказательства воспользуемся определением выпуклого многоугольника: многоугольник является выпуклым, если он целиком лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Рассмотрим произвольный параллелограмм $ABCD$. Докажем, что он удовлетворяет этому условию для каждой из своих сторон.

1. Проведём прямую через одну из сторон параллелограмма, например, через сторону $AB$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны, следовательно, сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Это можно записать как $AB \parallel CD$.

2. Поскольку прямая, содержащая отрезок $CD$, параллельна прямой, содержащей отрезок $AB$, то отрезок $CD$ не пересекает прямую $AB$ и полностью находится на одном расстоянии от неё. Это означает, что весь отрезок $CD$ (включая его концы — вершины $C$ и $D$) лежит в одной из двух полуплоскостей, на которые прямая $AB$ делит плоскость.

3. Теперь рассмотрим стороны $BC$ и $AD$. Вершина $C$ и вершина $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Отрезок $BC$ соединяет точку $B$ (лежащую на прямой) с точкой $C$ (лежащей в одной из полуплоскостей). Следовательно, весь отрезок $BC$ (кроме точки $B$) лежит в той же полуплоскости. Аналогично, отрезок $AD$ соединяет точку $A$ (на прямой) с точкой $D$ (в той же полуплоскости), поэтому он также лежит в этой полуплоскости.

4. Таким образом, мы показали, что все вершины и стороны параллелограмма $ABCD$ (за исключением стороны $AB$, которая лежит на самой прямой) находятся по одну сторону от прямой, проходящей через сторону $AB$.

5. Эти же рассуждения справедливы для любой другой стороны параллелограмма. Если мы проведём прямую через сторону $BC$, то, так как $AD \parallel BC$, весь параллелограмм будет лежать по одну сторону от этой прямой. То же самое верно для прямых, проходящих через стороны $CD$ и $DA$.

Поскольку параллелограмм $ABCD$ лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону, по определению он является выпуклым четырёхугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником, так как по определению параллелограмма его противолежащие стороны параллельны, а это гарантирует, что фигура целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую из его сторон.

479 Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВK и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $BMDK$ является параллелограммом, достаточно показать, что одна пара его противоположных сторон одновременно и равна, и параллельна. Докажем, что стороны $BK$ и $DM$ удовлетворяют этому условию.

1. Параллельность сторон $BK$ и $DM$.

По условию задачи, отрезки $BK$ и $DM$ являются перпендикулярами, проведёнными к одной и той же прямой $AC$. Таким образом, $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$. Согласно свойству геометрии, две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Отсюда следует, что $BK \parallel DM$.

2. Равенство сторон $BK$ и $DM$.

Рассмотрим треугольники $\Delta ABK$ и $\Delta CDM$.

- Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $AB = CD$.
- Противолежащие стороны параллелограмма также параллельны: $AB \parallel CD$. Прямая $AC$ является для них секущей, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle BAC = \angle DCA$ (или $\angle BAK = \angle DCM$).
- По построению, $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$, следовательно, треугольники $\Delta ABK$ и $\Delta CDM$ являются прямоугольными с прямыми углами $\angle BKA = 90^\circ$ и $\angle DMC = 90^\circ$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\Delta ABK$ и $\Delta CDM$ равны по гипотенузе ($AB = CD$) и острому углу ($\angle BAK = \angle DCM$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BK = DM$.

Заключение.

Мы установили, что в четырёхугольнике $BMDK$ противолежащие стороны $BK$ и $DM$ параллельны ($BK \parallel DM$) и равны ($BK = DM$). По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм.

Ответ: Четырёхугольник $BMDK$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

480 На сторонах AB, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Доказательство, что ABCD — параллелограмм.
Рассмотрим противоположные стороны четырехугольника $ABCD$. Длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MB$, то есть $AB = AM + MB$. Длина стороны $CD$ равна сумме длин отрезков $CP$ и $PD$, то есть $CD = CP + PD$. По условию задачи $AM = CP$ и $BM = DP$. Сложим эти два равенства почленно: $AM + BM = CP + DP$. Отсюда следует, что $AB = CD$.
Аналогично рассмотрим другую пару противоположных сторон, $BC$ и $DA$. Длина стороны $BC$ равна $BN + NC$. Длина стороны $DA$ равна $DQ + QA$. По условию задачи $BN = DQ$ и $NC = QA$. Сложим эти равенства: $BN + NC = DQ + QA$. Отсюда следует, что $BC = DA$.
Так как в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), то по признаку параллелограмма $ABCD$ является параллелограммом.
Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство, что MNPQ — параллелограмм.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, как доказано выше, его противоположные углы равны: $?A = ?C$ и $?B = ?D$.
Рассмотрим треугольники $?AMQ$ и $?CPN$. В них:

• $AM = CP$ (по условию).
• $AQ = NC$ (из условия $NC = QA$).
• $?A = ?C$ (как противоположные углы параллелограмма $ABCD$).

Следовательно, $?AMQ \cong ?CPN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $MQ = PN$.
Теперь рассмотрим треугольники $?BMN$ и $?DPQ$. В них:

• $BM = DP$ (по условию).
• $BN = DQ$ (по условию).
• $?B = ?D$ (как противоположные углы параллелограмма $ABCD$).

Следовательно, $?BMN \cong ?DPQ$ также по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство их соответствующих сторон: $MN = PQ$.
В четырехугольнике $MNPQ$ противоположные стороны попарно равны ($MQ = PN$ и $MN = PQ$). Следовательно, по признаку параллелограмма, $MNPQ$ является параллелограммом.
Ответ: Доказано, что $MNPQ$ — параллелограмм.

481 На рисунке 194 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О₁А и О₂В равны. Стержень AB, длина которого равна расстоянию O₁O₂ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки AB и O₁O₂ либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырехугольник, образованный центрами колес $O_1$, $O_2$ и точками крепления стержня $A$ и $B$. Обозначим этот четырехугольник $ABO_2O_1$.

Исходя из условий задачи, мы можем определить длины сторон этого четырехугольника:

• Стороны $O_1A$ и $O_2B$ являются радиусами двух одинаковых колес. Следовательно, их длины равны: $O_1A = O_2B$.
• Длина стержня $AB$ по условию равна расстоянию между центрами колес: $AB = O_1O_2$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABO_2O_1$ противолежащие стороны попарно равны ($AB = O_1O_2$ и $O_1A = O_2B$).

Согласно признаку параллелограмма, если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Если точки $A$, $B$, $O_1$ и $O_2$ не лежат на одной прямой, то они образуют невырожденный параллелограмм $ABO_2O_1$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel O_1O_2$.

2. Если точки $A$, $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, то это вырожденный случай параллелограмма. В этом случае отрезки $AB$ и $O_1O_2$, являясь частями одной прямой, лежат на этой прямой. Такое положение возможно, когда стержень занимает крайние положения (например, когда радиусы $O_1A$ и $O_2B$ лежат на линии центров $O_1O_2$).

Таким образом, в любом возможном положении механизма отрезки $AB$ и $O_1O_2$ либо параллельны, либо лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на рассмотрении четырехугольника $ABO_2O_1$. По условию задачи $AB = O_1O_2$, а также $O_1A = O_2B$, так как это радиусы одинаковых колес. Поскольку в четырехугольнике $ABO_2O_1$ противолежащие стороны попарно равны, он является параллелограммом. Если точки $A, B, O_1, O_2$ не лежат на одной прямой (невырожденный случай), то из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel O_1O_2$. Если же точки лежат на одной прямой (вырожденный случай), то и отрезки $AB$ и $O_1O_2$ лежат на одной прямой.