Номер 476, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 476, страница 127.

476 Найдите углы параллелограмма ABCD, если:
а) ∠A = 84°; б) ∠A − ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C = 142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.

Для решения задачи будем использовать основные свойства углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° ($\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle C = 180^\circ$ и т.д.).
• Противоположные стороны параллельны ($AD \parallel BC$, $AB \parallel CD$).

а)

Дано, что $\angle A = 84^\circ$.

1. Так как в параллелограмме противолежащие углы равны, то $\angle C = \angle A = 84^\circ$.

2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Отсюда находим $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

3. Противолежащий угол $\angle D$ равен углу $\angle B$, поэтому $\angle D = \angle B = 96^\circ$.

Ответ: $\angle A = 84^\circ, \angle B = 96^\circ, \angle C = 84^\circ, \angle D = 96^\circ$.

б)

Дано, что $\angle A - \angle B = 55^\circ$. Также мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \angle A - \angle B = 55^\circ \\ \angle A + \angle B = 180^\circ \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(\angle A - \angle B) + (\angle A + \angle B) = 55^\circ + 180^\circ$

$2\angle A = 235^\circ$

$\angle A = \frac{235^\circ}{2} = 117.5^\circ$

Теперь найдем $\angle B$ из второго уравнения:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 117.5^\circ = 62.5^\circ$.

Противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 117.5^\circ$ и $\angle D = \angle B = 62.5^\circ$.

Ответ: $\angle A = 117.5^\circ, \angle B = 62.5^\circ, \angle C = 117.5^\circ, \angle D = 62.5^\circ$.

в)

Дано, что $\angle A + \angle C = 142^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, то есть $\angle A = \angle C$.

Заменим $\angle C$ на $\angle A$ в данном равенстве:

$\angle A + \angle A = 142^\circ$

$2\angle A = 142^\circ$

$\angle A = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ$.

Следовательно, $\angle C = 71^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$.

Противолежащий угол $\angle D$ равен углу $\angle B$, поэтому $\angle D = 109^\circ$.

Ответ: $\angle A = 71^\circ, \angle B = 109^\circ, \angle C = 71^\circ, \angle D = 109^\circ$.

г)

Дано, что $\angle A = 2\angle B$. Используем свойство о сумме углов, прилежащих к одной стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Подставим данное условие в это свойство:

$2\angle B + \angle B = 180^\circ$

$3\angle B = 180^\circ$

$\angle B = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Теперь найдем $\angle A$:

$\angle A = 2\angle B = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Противоположные углы равны: $\angle C = \angle A = 120^\circ$ и $\angle D = \angle B = 60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 120^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 120^\circ, \angle D = 60^\circ$.

д)

Дано: $\angle CAD = 16^\circ$ и $\angle ACD = 37^\circ$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$, образованный сторонами $AD$, $CD$ и диагональю $AC$. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол $\angle D$ параллелограмма:

$\angle D = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.

2. Так как в параллелограмме противолежащие углы равны, $\angle B = \angle D = 127^\circ$.

3. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а диагональ $AC$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = 16^\circ$.

4. Аналогично, стороны $AB$ и $CD$ параллельны, а $AC$ — секущая. Поэтому накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ равны: $\angle BAC = \angle ACD = 37^\circ$.

5. Теперь найдем полные углы $\angle A$ и $\angle C$ параллелограмма:

$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 37^\circ + 16^\circ = 53^\circ$.

$\angle C = \angle BCA + \angle ACD = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ$.

Ответ: $\angle A = 53^\circ, \angle B = 127^\circ, \angle C = 53^\circ, \angle D = 127^\circ$.