Номер 477, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 477, страница 127.

477 В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNH$. Он является прямоугольным, поскольку по условию $NH$ — перпендикуляр к прямой $MQ$, следовательно, $\angle NHM = 90^\circ$.

Стороны параллелограмма

В прямоугольном треугольнике $\triangle MNH$ известны катет $MH = 3$ см и острый угол $\angle MNH = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $MN$, которая также является стороной параллелограмма. Согласно определению синуса:

$\sin(\angle MNH) = \frac{MH}{MN}$

Выразим $MN$:

$MN = \frac{MH}{\sin(\angle MNH)} = \frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $PQ = MN = 6$ см.

По условию, точка $H$ лежит на стороне $MQ$, поэтому длина этой стороны равна сумме длин отрезков $MH$ и $HQ$.

$MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см.

Противолежащая сторона $NP$ равна $MQ$, следовательно $NP = 8$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см ($MN = PQ = 6$ см, $MQ = NP = 8$ см).

Углы параллелограмма

Угол $\angle M$ параллелограмма совпадает с углом $\angle HMN$ в треугольнике $\triangle MNH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle M = \angle HMN = 90^\circ - \angle MNH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.

Следовательно, $\angle P = \angle M = 60^\circ$.

$\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\angle Q = \angle N = 120^\circ$.

Ответ: Углы параллелограмма равны $60^\circ$ и $120^\circ$ ($\angle M = \angle P = 60^\circ$, $\angle N = \angle Q = 120^\circ$).