Номер 483, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 483, страница 128.

483 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырёхугольник $APCQ$ является параллелограммом, воспользуемся признаком, согласно которому четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть диагонали исходного параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, точка $O$ является серединой его диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим четырёхугольник $APCQ$. Его диагоналями являются отрезки $AC$ и $PQ$. Точка $O$ уже является серединой диагонали $AC$. Чтобы доказать, что $APCQ$ — параллелограмм, нам достаточно показать, что $O$ также является серединой диагонали $PQ$.

Точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$. Так как $BO = OD$ и по условию $PB = QD$, точки $P$ и $Q$ должны находиться на одинаковом расстоянии от центра $O$. Покажем это строго. Если точка $P$ лежит на отрезке $BO$, а точка $Q$ — на отрезке $OD$, то длина отрезка $OP$ равна разности $BO - PB$, а длина отрезка $OQ$ равна разности $OD - QD$.

Поскольку $BO = OD$ (свойство диагоналей параллелограмма) и $PB = QD$ (по условию задачи), мы можем заключить, что $OP = OQ$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $PQ$.

Таким образом, диагонали четырёхугольника $APCQ$ (отрезки $AC$ и $PQ$) пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма, $APCQ$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $APCQ$ является параллелограммом.