Номер 486, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 486, страница 128.

486 Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).

Доказательство:

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Этот четырёхугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Пусть точки $M, N, P, Q$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Требуется доказать, что четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом.

1. Проведём в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По определению, $MN$ — средняя линия треугольника $\triangle ABC$.

3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

4. Теперь рассмотрим $\triangle ADC$. Отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $PQ$ — средняя линия треугольника $\triangle ADC$.

5. Аналогично, по свойству средней линии, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2} AC$.

6. Из полученных соотношений следует, что $MN \parallel PQ$ (так как обе прямые параллельны одной и той же прямой $AC$) и $MN = PQ$ (так как длины обоих отрезков равны одной и той же величине $\frac{1}{2} AC$).

7. Мы имеем четырёхугольник $MNPQ$, в котором две противолежащие стороны ($MN$ и $PQ$) равны и параллельны. Согласно одному из признаков параллелограмма, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Таким образом, утверждение доказано. Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, всегда является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник, образованный серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, поскольку его противолежащие стороны равны и параллельны (каждая пара параллельна одной из диагоналей исходного четырёхугольника и равна её половине).