Номер 485, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 485, страница 128.

485 Докажите признак средней линии треугольника. Через середину М стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника ABC.

Решение

Через точку С проведём прямую, параллельную прямой AB, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 195). Так как АМ=МВ по условию, а MB=CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM=DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM=CD, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими АС и MD), поэтому AN=NC. Получаем, что по определению отрезок MN является средней линией треугольника АВС.

Это утверждение известно как теорема Фалеса в частном случае для треугольника или как признак средней линии треугольника. Для доказательства воспользуемся методом, предложенным в задаче, с дополнительным построением.

Условие:

Дан треугольник $ABC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$ (то есть $AM = MB$). Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $N$.

Требуется доказать:

$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ (то есть точка $N$ является серединой стороны $AC$).

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение, как показано на рисунке. Проведём через точку $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть $D$ — точка пересечения этой прямой с прямой $MN$.

2. Рассмотрим четырёхугольник $BCDM$. В этом четырёхугольнике:

• $MD \parallel BC$ (поскольку по условию $MN \parallel BC$, а точки $M, N, D$ лежат на одной прямой).
• $CD \parallel MB$ (поскольку по построению $CD \parallel AB$, а точка $M$ лежит на стороне $AB$).

Так как противоположные стороны четырёхугольника $BCDM$ попарно параллельны, то $BCDM$ является параллелограммом по определению.

3. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $MB = CD$. Из условия задачи мы знаем, что $M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = MB$. Объединив эти два равенства, получаем, что $AM = CD$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle CDN$. Для доказательства их равенства мы используем второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

• Сторона: $AM = CD$, как было доказано в предыдущем пункте.
• Прилежащий угол 1: $\angle MAN = \angle DCN$ (на рисунке обозначены как $\angle 1$ и $\angle 2$). Эти углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$, и, следовательно, они равны.
• Прилежащий угол 2: $\angle AMN = \angle CDN$ (на рисунке обозначены как $\angle 3$ и $\angle 4$). Докажем их равенство.
  • Поскольку $MN \parallel BC$ (по условию), то $\angle AMN = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $AB$.
  • Поскольку $BCDM$ — параллелограмм, его противоположные углы равны: $\angle ABC = \angle MDC$. Угол $\angle MDC$ — это тот же самый угол, что и $\angle CDN$.
  • Из этих двух пунктов следует, что $\angle AMN = \angle ABC = \angle CDN$, то есть $\angle AMN = \angle CDN$.

5. Поскольку в треугольниках $\triangle AMN$ и $\triangle CDN$ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны ($AM = CD$, $\angle MAN = \angle DCN$, $\angle AMN = \angle CDN$), то эти треугольники равны ($\triangle AMN \cong \triangle CDN$) по второму признаку равенства треугольников.

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, сторона $AN$ из $\triangle AMN$ равна соответственной стороне $CN$ из $\triangle CDN$. Равенство $AN = CN$ означает, что точка $N$ является серединой стороны $AC$.

Таким образом, отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. По определению, такой отрезок является средней линией треугольника $ABC$.

Ответ: Признак средней линии треугольника доказан. Если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой его стороне, то эта прямая пересекает третью сторону в её середине, а отрезок прямой, заключённый между сторонами треугольника, является его средней линией.