Номер 484, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 484, страница 128.

484 Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Для доказательства свойств средней линии треугольника рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $BC$. По определению, отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. Требуется доказать, что средняя линия $MN$ параллельна третьей стороне $AC$ и равна её половине.

Для доказательства воспользуемся методом подобия треугольников. Рассмотрим два треугольника: $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

2. Поскольку точка $M$ — середина стороны $AB$, по определению $BM = \frac{1}{2} AB$. Отсюда следует, что отношение длин сторон $\frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$.

3. Аналогично, так как точка $N$ — середина стороны $BC$, то $BN = \frac{1}{2} BC$. Следовательно, отношение длин сторон $\frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы установили, что две стороны треугольника $\triangle MBN$ (стороны $BM$ и $BN$) пропорциональны двум сторонам треугольника $\triangle ABC$ (сторонам $AB$ и $BC$), и угол, заключенный между этими сторонами ($\angle B$), является общим.

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), можно заключить, что треугольник $\triangle MBN$ подобен треугольнику $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{1}{2}$. $$ \triangle MBN \sim \triangle ABC $$

Из факта подобия треугольников вытекают два следствия, которые доказывают искомые свойства.

Во-первых, у подобных треугольников соответствующие углы равны. Следовательно, $\angle BMN = \angle BAC$. Эти два угла являются соответственными при пересечении прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$. Так как соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $MN$ параллельна прямой $AC$. $$ MN \parallel AC $$

Во-вторых, отношение длин всех соответствующих сторон в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия. Таким образом: $$ \frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{2} $$ Из этого соотношения напрямую следует, что длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $AC$. $$ MN = \frac{1}{2} AC $$

Таким образом, оба свойства средней линии треугольника доказаны.

Ответ: Свойства средней линии доказаны. Средняя линия треугольника, которая соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.