Страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

482 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОB, ОС и OD, — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$. Это отрезки $A_1C_1$ и $B_1D_1$.

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм, и его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По основному свойству диагоналей параллелограмма, они делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, мы имеем равенства:

$OA = OC$

$OB = OD$

По условию, точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются серединами отрезков $OA, OB, OC$ и $OD$ соответственно. Рассмотрим диагональ $A_1C_1$.

Поскольку $A_1$ — середина отрезка $OA$, то $OA_1 = \frac{1}{2}OA$.

Поскольку $C_1$ — середина отрезка $OC$, то $OC_1 = \frac{1}{2}OC$.

Так как $OA = OC$, то и их половины равны: $OA_1 = OC_1$. Точки $A_1, O, C_1$ лежат на одной прямой (прямой $AC$), поэтому точка $O$ является серединой диагонали $A_1C_1$.

Теперь рассмотрим вторую диагональ $B_1D_1$.

Поскольку $B_1$ — середина отрезка $OB$, то $OB_1 = \frac{1}{2}OB$.

Поскольку $D_1$ — середина отрезка $OD$, то $OD_1 = \frac{1}{2}OD$.

Так как $OB = OD$, то и их половины равны: $OB_1 = OD_1$. Точки $B_1, O, D_1$ лежат на одной прямой (прямой $BD$), поэтому точка $O$ является серединой диагонали $B_1D_1$.

Таким образом, мы доказали, что диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ ($A_1C_1$ и $B_1D_1$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

483 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырёхугольник $APCQ$ является параллелограммом, воспользуемся признаком, согласно которому четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть диагонали исходного параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, точка $O$ является серединой его диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим четырёхугольник $APCQ$. Его диагоналями являются отрезки $AC$ и $PQ$. Точка $O$ уже является серединой диагонали $AC$. Чтобы доказать, что $APCQ$ — параллелограмм, нам достаточно показать, что $O$ также является серединой диагонали $PQ$.

Точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$. Так как $BO = OD$ и по условию $PB = QD$, точки $P$ и $Q$ должны находиться на одинаковом расстоянии от центра $O$. Покажем это строго. Если точка $P$ лежит на отрезке $BO$, а точка $Q$ — на отрезке $OD$, то длина отрезка $OP$ равна разности $BO - PB$, а длина отрезка $OQ$ равна разности $OD - QD$.

Поскольку $BO = OD$ (свойство диагоналей параллелограмма) и $PB = QD$ (по условию задачи), мы можем заключить, что $OP = OQ$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $PQ$.

Таким образом, диагонали четырёхугольника $APCQ$ (отрезки $AC$ и $PQ$) пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма, $APCQ$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $APCQ$ является параллелограммом.

484 Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Для доказательства свойств средней линии треугольника рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $BC$. По определению, отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. Требуется доказать, что средняя линия $MN$ параллельна третьей стороне $AC$ и равна её половине.

Для доказательства воспользуемся методом подобия треугольников. Рассмотрим два треугольника: $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

2. Поскольку точка $M$ — середина стороны $AB$, по определению $BM = \frac{1}{2} AB$. Отсюда следует, что отношение длин сторон $\frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$.

3. Аналогично, так как точка $N$ — середина стороны $BC$, то $BN = \frac{1}{2} BC$. Следовательно, отношение длин сторон $\frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы установили, что две стороны треугольника $\triangle MBN$ (стороны $BM$ и $BN$) пропорциональны двум сторонам треугольника $\triangle ABC$ (сторонам $AB$ и $BC$), и угол, заключенный между этими сторонами ($\angle B$), является общим.

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), можно заключить, что треугольник $\triangle MBN$ подобен треугольнику $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{1}{2}$. $$ \triangle MBN \sim \triangle ABC $$

Из факта подобия треугольников вытекают два следствия, которые доказывают искомые свойства.

Во-первых, у подобных треугольников соответствующие углы равны. Следовательно, $\angle BMN = \angle BAC$. Эти два угла являются соответственными при пересечении прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$. Так как соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $MN$ параллельна прямой $AC$. $$ MN \parallel AC $$

Во-вторых, отношение длин всех соответствующих сторон в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия. Таким образом: $$ \frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{2} $$ Из этого соотношения напрямую следует, что длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $AC$. $$ MN = \frac{1}{2} AC $$

Таким образом, оба свойства средней линии треугольника доказаны.

Ответ: Свойства средней линии доказаны. Средняя линия треугольника, которая соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

485 Докажите признак средней линии треугольника. Через середину М стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника ABC.

Решение

Через точку С проведём прямую, параллельную прямой AB, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 195). Так как АМ=МВ по условию, а MB=CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM=DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM=CD, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими АС и MD), поэтому AN=NC. Получаем, что по определению отрезок MN является средней линией треугольника АВС.

Это утверждение известно как теорема Фалеса в частном случае для треугольника или как признак средней линии треугольника. Для доказательства воспользуемся методом, предложенным в задаче, с дополнительным построением.

Условие:

Дан треугольник $ABC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$ (то есть $AM = MB$). Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $N$.

Требуется доказать:

$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ (то есть точка $N$ является серединой стороны $AC$).

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение, как показано на рисунке. Проведём через точку $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть $D$ — точка пересечения этой прямой с прямой $MN$.

2. Рассмотрим четырёхугольник $BCDM$. В этом четырёхугольнике:

• $MD \parallel BC$ (поскольку по условию $MN \parallel BC$, а точки $M, N, D$ лежат на одной прямой).
• $CD \parallel MB$ (поскольку по построению $CD \parallel AB$, а точка $M$ лежит на стороне $AB$).

Так как противоположные стороны четырёхугольника $BCDM$ попарно параллельны, то $BCDM$ является параллелограммом по определению.

3. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $MB = CD$. Из условия задачи мы знаем, что $M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = MB$. Объединив эти два равенства, получаем, что $AM = CD$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle CDN$. Для доказательства их равенства мы используем второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

• Сторона: $AM = CD$, как было доказано в предыдущем пункте.
• Прилежащий угол 1: $\angle MAN = \angle DCN$ (на рисунке обозначены как $\angle 1$ и $\angle 2$). Эти углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$, и, следовательно, они равны.
• Прилежащий угол 2: $\angle AMN = \angle CDN$ (на рисунке обозначены как $\angle 3$ и $\angle 4$). Докажем их равенство.
  • Поскольку $MN \parallel BC$ (по условию), то $\angle AMN = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $AB$.
  • Поскольку $BCDM$ — параллелограмм, его противоположные углы равны: $\angle ABC = \angle MDC$. Угол $\angle MDC$ — это тот же самый угол, что и $\angle CDN$.
  • Из этих двух пунктов следует, что $\angle AMN = \angle ABC = \angle CDN$, то есть $\angle AMN = \angle CDN$.

5. Поскольку в треугольниках $\triangle AMN$ и $\triangle CDN$ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны ($AM = CD$, $\angle MAN = \angle DCN$, $\angle AMN = \angle CDN$), то эти треугольники равны ($\triangle AMN \cong \triangle CDN$) по второму признаку равенства треугольников.

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, сторона $AN$ из $\triangle AMN$ равна соответственной стороне $CN$ из $\triangle CDN$. Равенство $AN = CN$ означает, что точка $N$ является серединой стороны $AC$.

Таким образом, отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. По определению, такой отрезок является средней линией треугольника $ABC$.

Ответ: Признак средней линии треугольника доказан. Если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой его стороне, то эта прямая пересекает третью сторону в её середине, а отрезок прямой, заключённый между сторонами треугольника, является его средней линией.

486 Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).

Доказательство:

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Этот четырёхугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Пусть точки $M, N, P, Q$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Требуется доказать, что четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом.

1. Проведём в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По определению, $MN$ — средняя линия треугольника $\triangle ABC$.

3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

4. Теперь рассмотрим $\triangle ADC$. Отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $PQ$ — средняя линия треугольника $\triangle ADC$.

5. Аналогично, по свойству средней линии, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2} AC$.

6. Из полученных соотношений следует, что $MN \parallel PQ$ (так как обе прямые параллельны одной и той же прямой $AC$) и $MN = PQ$ (так как длины обоих отрезков равны одной и той же величине $\frac{1}{2} AC$).

7. Мы имеем четырёхугольник $MNPQ$, в котором две противолежащие стороны ($MN$ и $PQ$) равны и параллельны. Согласно одному из признаков параллелограмма, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Таким образом, утверждение доказано. Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, всегда является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник, образованный серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, поскольку его противолежащие стороны равны и параллельны (каждая пара параллельна одной из диагоналей исходного четырёхугольника и равна её половине).

487 Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон равнобедренной трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC – основания, AB и CD – боковые стороны. Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Требуется найти периметр четырехугольника KLMN.

По условию, диагональ трапеции равна $a$. Так как трапеция равнобедренная, ее диагонали равны, то есть $AC = BD = a$.

Рассмотрим четырехугольник KLMN. Его стороны являются средними линиями соответствующих треугольников, образованных сторонами и диагоналями трапеции.

1. Сторона KL. В треугольнике ABC отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC. Следовательно, KL является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии:
$KL = \frac{1}{2} AC$

2. Сторона LM. В треугольнике BCD отрезок LM соединяет середины сторон BC и CD. Следовательно, LM является средней линией треугольника BCD. По свойству средней линии:
$LM = \frac{1}{2} BD$

3. Сторона MN. В треугольнике CDA отрезок MN соединяет середины сторон CD и DA. Следовательно, MN является средней линией треугольника CDA. По свойству средней линии:
$MN = \frac{1}{2} AC$

4. Сторона NK. В треугольнике DAB отрезок NK соединяет середины сторон DA и AB. Следовательно, NK является средней линией треугольника DAB. По свойству средней линии:
$NK = \frac{1}{2} BD$

Периметр четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:
$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$

Подставим выражения для длин сторон, которые мы нашли:
$P_{KLMN} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$

Сгруппируем слагаемые:
$P_{KLMN} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$

Мы знаем, что по условию диагонали равны $a$: $AC = a$ и $BD = a$. Подставим эти значения в формулу для периметра:
$P_{KLMN} = a + a = 2a$

Примечание: Четырехугольник, образованный серединами сторон любого четырехугольника, является параллелограммом (теорема Вариньона). Так как в нашем случае диагонали исходной трапеции равны ($AC=BD$), то все стороны полученного параллелограмма KLMN равны ($KL=LM=MN=NK=\frac{a}{2}$), следовательно, KLMN является ромбом.

Ответ: $2a$.

488 Докажите теорему Фалеса¹: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁A₂, А₂А₃, A₃A₄, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, ... (рис. 196). Требуется доказать, что отрезки B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄, ... равны друг другу.

Докажем, например, что В₁B₂=В₂В₃.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис. 196, а). Тогда A₁A₂=B₁B₂ и А₂А₃=В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов A₁B₁B₂A₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂=А₂А₃, то и В₁В₂=В₂В₃.

Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведём прямую l, параллельную прямой l₁ (рис. 196, б). Она пересечёт прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂=А₂А₃, то по доказанному B₁C=CD. Отсюда получаем: В₁В₂ = В₂В₃ (задача 485). Аналогично можно доказать, что В₂В₃=В₃В₄ и т. д.

Для доказательства теоремы Фалеса необходимо показать, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Доказательство достаточно провести для двух соседних равных отрезков на первой прямой и соответствующих им отрезков на второй.
Дано: прямые $l_1$ и $l_2$; точки $A_1, A_2, A_3$ на $l_1$ таковы, что $A_1A_2 = A_2A_3$; прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ параллельны ($A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$); точки $B_1, B_2, B_3$ лежат на прямой $l_2$.
Доказать: $B_1B_2 = B_2B_3$.
Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых $l_1$ и $l_2$.

а) Случай, когда прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$), как показано на рис. 196, а.

Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2B_2B_1$. По условию теоремы, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $A_2B_2$. По предположению данного случая, прямая $l_1$ (содержащая отрезок $A_1A_2$) параллельна прямой $l_2$ (содержащей отрезок $B_1B_2$). Поскольку у четырехугольника $A_1A_2B_2B_1$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $A_1A_2 = B_1B_2$.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник $A_2A_3B_3B_2$. В нем $A_2B_2 \parallel A_3B_3$ (по условию) и $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ (так как $l_1 \parallel l_2$). Следовательно, $A_2A_3B_3B_2$ — это также параллелограмм, и его противолежащие стороны равны: $A_2A_3 = B_2B_3$.

Так как по условию $A_1A_2 = A_2A_3$, то из полученных равенств $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$ следует, что $B_1B_2 = B_2B_3$. Утверждение для данного случая доказано.

Ответ: Для случая параллельных прямых доказано, что $B_1B_2 = B_2B_3$.

б) Случай, когда прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, как показано на рис. 196, б.

Проведем через точку $B_1$ вспомогательную прямую $l$, параллельную прямой $l_1$. Пусть эта прямая пересекает прямые $A_2B_2$ и $A_3B_3$ в точках $C$ и $D$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2CB_1$. Его сторона $A_1A_2$ лежит на прямой $l_1$, а сторона $B_1C$ — на прямой $l$. По построению $l \parallel l_1$, значит $A_1A_2 \parallel B_1C$. Стороны $A_1B_1$ и $A_2C$ (являющаяся частью прямой $A_2B_2$) параллельны по условию теоремы. Следовательно, $A_1A_2CB_1$ — параллелограмм, из чего следует равенство противолежащих сторон: $A_1A_2 = B_1C$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $A_2A_3DC$. Его стороны $A_2A_3$ и $CD$ параллельны, так как лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l$. Стороны $A_2C$ и $A_3D$ (часть прямой $A_3B_3$) параллельны по условию ($A_2B_2 \parallel A_3B_3$). Значит, $A_2A_3DC$ — также параллелограмм, и $A_2A_3 = CD$.

Из условия $A_1A_2 = A_2A_3$ и полученных нами равенств $A_1A_2 = B_1C$ и $A_2A_3 = CD$ вытекает, что $B_1C = CD$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle B_1B_3D$. Прямая $CB_2$ пересекает его стороны $B_1D$ и $B_1B_3$. Так как прямая $A_2B_2$ (содержащая отрезок $CB_2$) параллельна прямой $A_3B_3$ (содержащей отрезок $DB_3$), то и $CB_2 \parallel DB_3$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от них пропорциональные отрезки:

$\frac{B_1C}{B_1D} = \frac{B_1B_2}{B_1B_3}$

Поскольку мы установили, что $B_1C = CD$, то длина отрезка $B_1D$ равна $B_1C + CD = 2 \cdot B_1C$. Подставим это выражение в пропорцию:

$\frac{B_1C}{2 \cdot B_1C} = \frac{B_1B_2}{B_1B_3}$

Сократив $B_1C$, получаем $\frac{1}{2} = \frac{B_1B_2}{B_1B_3}$, откуда следует, что $B_1B_3 = 2 \cdot B_1B_2$.

Так как точка $B_2$ лежит на отрезке $B_1B_3$, то $B_1B_3 = B_1B_2 + B_2B_3$. Подставим это в предыдущее равенство:

$B_1B_2 + B_2B_3 = 2 \cdot B_1B_2$

Вычитая $B_1B_2$ из обеих частей равенства, приходим к выводу, что $B_2B_3 = B_1B_2$. Утверждение теоремы доказано и для этого случая.

Ответ: Для случая непараллельных прямых доказано, что $B_1B_2 = B_2B_3$.