Страница 126 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

471 Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB || CD, ∠A = ∠C.

а)

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$.
1. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими углами. По условию, $\angle BAC = \angle ACD$. Согласно признаку параллельности двух прямых, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $AB \parallel CD$.
2. Рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ также являются внутренними накрест лежащими углами. По условию, $\angle BCA = \angle DAC$. Следовательно, по тому же признаку параллельности прямых, $BC \parallel AD$.
3. В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. По определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$.
1. Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а прямая $AD$ является секущей, сумма внутренних односторонних углов $\angle A$ и $\angle D$ равна $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle D = 180^\circ$.
2. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ имеем: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.
3. Используем данные условия для преобразования уравнения суммы углов. Подставим $\angle C = \angle A$ (из условия) и $\angle D = 180^\circ - \angle A$ (из пункта 1):
$\angle A + \angle B + \angle A + (180^\circ - \angle A) = 360^\circ$
Упростим выражение:
$\angle A + \angle B + 180^\circ = 360^\circ$
$\angle A + \angle B = 360^\circ - 180^\circ$
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
4. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AB$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются для них внутренними односторонними углами. Так как их сумма равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых $AD \parallel BC$.
5. Мы имеем, что $AB \parallel CD$ (по условию) и $AD \parallel BC$ (как доказано выше). Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны, по определению он является параллелограммом.
Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

472 Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если:

а) одна сторона на 3 см больше другой;

б) разность двух сторон равна 7 см;

в) одна из сторон в 2 раза больше другой.

Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

По условию задачи, периметр равен 48 см. Мы можем найти сумму смежных сторон:

$2(a + b) = 48$

$a + b = 48 / 2$

$a + b = 24$ см.

Теперь, используя это соотношение, решим каждую часть задачи.

а) одна сторона на 3 см больше другой;

Пусть одна сторона равна $x$ см. Тогда другая сторона будет равна $(x + 3)$ см.

Составим и решим уравнение, исходя из того, что сумма сторон равна 24 см:

$x + (x + 3) = 24$

$2x + 3 = 24$

$2x = 24 - 3$

$2x = 21$

$x = 10.5$ см.

Итак, одна сторона равна 10.5 см. Вторая сторона равна $10.5 + 3 = 13.5$ см.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то его стороны — 10.5 см, 13.5 см, 10.5 см, 13.5 см.

Ответ: 10.5 см и 13.5 см.

б) разность двух сторон равна 7 см;

Это условие означает, что одна сторона на 7 см больше другой. Пусть одна сторона равна $x$ см. Тогда другая сторона равна $(x + 7)$ см.

Сумма этих сторон равна 24 см:

$x + (x + 7) = 24$

$2x + 7 = 24$

$2x = 24 - 7$

$2x = 17$

$x = 8.5$ см.

Итак, одна сторона равна 8.5 см. Вторая сторона равна $8.5 + 7 = 15.5$ см.

Стороны параллелограмма — 8.5 см, 15.5 см, 8.5 см, 15.5 см.

Ответ: 8.5 см и 15.5 см.

в) одна из сторон в 2 раза больше другой.

Пусть одна сторона равна $x$ см. Тогда другая сторона, которая в 2 раза больше, равна $2x$ см.

Их сумма равна 24 см:

$x + 2x = 24$

$3x = 24$

$x = 24 / 3$

$x = 8$ см.

Итак, одна сторона равна 8 см. Вторая сторона равна $2 \cdot 8 = 16$ см.

Стороны параллелограмма — 8 см, 16 см, 8 см, 16 см.

Ответ: 8 см и 16 см.