Страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

489 Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По определению трапеции её основания параллельны: $AD \parallel BC$. Пусть M — середина боковой стороны AB, а N — середина боковой стороны CD. Отрезок MN является средней линией трапеции.

Для доказательства свойства средней линии выполним дополнительное построение. Проведём прямую через вершину B и точку N до её пересечения с продолжением прямой AD. Точку пересечения обозначим как K.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$. В этих треугольниках:$CN = ND$ (так как N — середина стороны CD по условию);$\angle BNC = \angle KND$ (как вертикальные углы);$\angle BCN = \angle KDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AK и секущей CD).Следовательно, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BC = KD$ и $BN = NK$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Точка M является серединой стороны AB по условию. Точка N является серединой стороны BK, поскольку мы доказали, что $BN = NK$. Таким образом, отрезок MN является средней линией треугольника $\triangle ABK$.

Используя свойство средней линии треугольника, докажем обе части теоремы.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Для треугольника $\triangle ABK$ это означает, что $MN \parallel AK$. Так как прямая AK содержит основание AD, то $MN \parallel AD$. Поскольку по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Таким образом, доказано, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Средняя линия трапеции равна их полусумме

По тому же свойству средней линии треугольника, её длина равна половине третьей стороны. Для треугольника $\triangle ABK$ это означает, что $MN = \frac{1}{2}AK$. Длина отрезка AK складывается из длин отрезков AD и DK: $AK = AD + DK$. Ранее из равенства треугольников мы установили, что $DK = BC$. Заменив DK на BC, получаем: $AK = AD + BC$. Подставим это выражение в формулу для длины MN:$MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$или$MN = \frac{AD + BC}{2}$.Таким образом, доказано, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований.

Ответ: Свойство доказано. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

490 Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C = 117°.

В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$). Боковые стороны — это AB и CD.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей.

Нахождение угла B

Углы $\angle A$ и $\angle B$ прилежат к боковой стороне AB. Следовательно, их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

По условию, $\angle A = 36^\circ$. Выразим и найдем $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

Нахождение угла D

Углы $\angle C$ и $\angle D$ прилежат к боковой стороне CD. Их сумма также составляет $180^\circ$.

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

По условию, $\angle C = 117^\circ$. Выразим и найдем $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$

Ответ: $\angle B = 144^\circ$, $\angle D = 63^\circ$.

491 Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.

а) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где боковые стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$).
Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$, то $BH = CK$ как расстояния между параллельными прямыми.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.
В этих треугольниках:
1. Гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $CD$ по определению равнобедренной трапеции.
2. Катет $BH$ равен катету $CK$ как высоты трапеции.
Следовательно, $\triangle ABH = \triangle DCK$ по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть $\angle A = \angle D$.
Теперь докажем равенство углов при верхнем основании. Так как $BC \parallel AD$, а $AB$ и $CD$ — секущие, то суммы углов, прилежащих к боковым сторонам, равны $180^\circ$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$\angle D + \angle C = 180^\circ$
Поскольку мы доказали, что $\angle A = \angle D$, из этих равенств следует, что $\angle B = 180^\circ - \angle A$ и $\angle C = 180^\circ - \angle D$, а значит, $\angle B = \angle C$.
Таким образом, в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим ту же равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Проведем диагонали $AC$ и $BD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
В этих треугольниках:
1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ по определению равнобедренной трапеции.
2. Сторона $AD$ является общей.
3. Угол $\angle A$ равен углу $\angle D$, как доказано в пункте а).
Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $BD$ треугольника $\triangle ABD$ соответствует стороне $AC$ треугольника $\triangle DCA$.
Таким образом, $AC = BD$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

492 Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

а) Докажем, что если углы при основании трапеции равны, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), у которой углы при основании $AD$ равны, то есть $\angle A = \angle D$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $AD \parallel BC$, то расстояние между этими параллельными прямыми постоянно, следовательно, высоты равны: $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В этих треугольниках:

• $\angle BAH = \angle CDK$ (или $\angle A = \angle D$) по условию.
• $BH = CK$ как высоты трапеции.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

По определению, трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной. Таким образом, трапеция $ABCD$ — равнобедренная.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что если диагонали трапеции равны, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), у которой диагонали равны: $AC = BD$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Как и в предыдущем пункте, $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$.

В этих треугольниках:

• Гипотенуза $AC$ равна гипотенузе $BD$ по условию.
• Катет $CK$ равен катету $BH$ как высоты трапеции.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства этих треугольников следует равенство их вторых катетов: $AK = DH$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC$.

Отрезок $AK$ можно представить как $AK = AH + HK$.

Отрезок $DH$ можно представить как $DH = DK + HK$.

Поскольку $AK = DH$, мы имеем $AH + HK = DK + HK$, откуда следует, что $AH = DK$.

(Примечание: если один из углов при основании тупой, например $\angle A$, то точка $H$ будет лежать на продолжении стороны $AD$ за точку $A$. Тогда $AK=HK-AH$. Но в этом случае угол $\angle D$ должен быть острым, и доказательство остается верным с небольшими изменениями в записи длин отрезков, приводя к тому же результату $AH=DK$).

Снова рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В этих треугольниках:

• Катет $AH$ равен катету $DK$ (что было доказано выше).
• Катет $BH$ равен катету $CK$ (как высоты трапеции).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

Таким образом, трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

493 Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.

В равнобедренной трапеции есть два ключевых свойства, которые помогут решить задачу:
1. Углы при каждом из оснований равны.
2. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$ (так как основания параллельны, а боковая сторона является секущей).

Данный в условии угол равен $68^{\circ}$. Так как $68^{\circ} < 90^{\circ}$, этот угол является острым. В трапеции (если она не является прямоугольником) всегда есть два острых и два тупых угла. В равнобедренной трапеции острые углы находятся при большем основании, а тупые — при меньшем.

Следовательно, данный угол $68^{\circ}$ — это один из углов при большем основании.

Согласно первому свойству, второй угол при этом же основании также равен $68^{\circ}$.

Теперь найдем углы при меньшем основании. Согласно второму свойству, угол, прилежащий к той же боковой стороне, что и угол $68^{\circ}$, равен:$180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}$.

Это один из тупых углов при меньшем основании. Второй угол при меньшем основании равен ему же, то есть тоже $112^{\circ}$.

Таким образом, углы трапеции равны $68^{\circ}, 68^{\circ}, 112^{\circ}, 112^{\circ}$. Один из углов ($68^{\circ}$) был дан, значит, остальные три угла — это $68^{\circ}, 112^{\circ}$ и $112^{\circ}$.

Ответ: $68^{\circ}, 112^{\circ}, 112^{\circ}$.

494 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Для того чтобы доказать, что из одинаковых плиток в форме равнобедренной трапеции можно сделать паркет, полностью покрывающий плоскость, достаточно показать, что из этих плиток можно составить фигуру, которой, в свою очередь, можно замостить плоскость. Такой фигурой является параллелограмм, так как известно, что параллелограммами можно замостить любую часть плоскости без зазоров и наложений путем их параллельных переносов.

Рассмотрим способ составления параллелограмма из двух одинаковых равнобедренных трапеций.
1. Возьмём трапецию $ABCD$, где основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, так как трапеция равнобедренная.
2. Возьмём вторую, точно такую же трапецию.
3. Совершим поворот второй трапеции на $180^\circ$ вокруг точки $M$ — середины одной из её боковых сторон, например, стороны $CD$.
4. В результате этого преобразования первая трапеция $ABCD$ и вторая, повернутая трапеция, состыкуются по стороне $CD$. Обозначим вершины повернутой трапеции в соответствии с преобразованием: вершина $C$ перешла в $D$, вершина $D$ в $C$, вершина $B$ в новую точку $E$, а вершина $A$ в новую точку $F$. Таким образом, вторая трапеция будет иметь вершины в точках $F, E, D, C$.
5. Две трапеции вместе образуют новый четырёхугольник $ABEF$. Докажем, что $ABEF$ — это параллелограмм.
Сторона $FE$ второй трапеции является образом стороны $AB$ первой трапеции при повороте на $180^\circ$. Поворот является движением, поэтому длина стороны $FE$ равна длине стороны $AB$. Также, при повороте на $180^\circ$ любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, сторона $FE$ параллельна стороне $AB$.
Мы получили, что в четырёхугольнике $ABEF$ две противоположные стороны, $AB$ и $FE$, равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, четырёхугольник $ABEF$ является параллелограммом.

Поскольку из двух равнобедренных трапеций можно сложить параллелограмм, а параллелограммами можно полностью замостить плоскость, то это означает, что и изначальными плитками в форме равнобедренной трапеции также можно замостить плоскость.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух одинаковых плиток в форме равнобедренной трапеции можно составить параллелограмм. Так как параллелограммами можно замостить плоскость, то и данными плитками-трапециями тоже можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

495 Основания прямоугольной трапеции равны a и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4 см, b = 7 см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если a = 10 см, b = 15 см, α = 45°.

Рассмотрим прямоугольную трапецию, у которой основания равны $a$ и $b$, а один из углов равен $\alpha$. В условии задачи даны конкретные значения, из которых следует, что $b > a$, поэтому $a$ — это меньшее основание, а $b$ — большее. В прямоугольной трапеции два угла прямые. Данный угол $\alpha$ в обоих случаях является острым ($60°$ и $45°$), следовательно, это угол при большем основании.

У прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Эта сторона является меньшей боковой стороной и высотой трапеции $h$. Другая боковая сторона является наклонной и большей.

Для нахождения длин боковых сторон проведем высоту из вершины тупого угла (при меньшем основании) на большее основание. Эта высота разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

В полученном прямоугольном треугольнике:

• один катет равен высоте трапеции $h$ (т.е. меньшей боковой стороне);
• второй катет равен разности длин оснований, то есть $b-a$;
• гипотенуза является большей боковой стороной трапеции;
• острый угол при основании равен $\alpha$.

Из тригонометрических соотношений в этом прямоугольном треугольнике можно выразить длины боковых сторон:
Меньшая боковая сторона (высота): $h = (b-a) \cdot \tan(\alpha)$.
Большая боковая сторона (гипотенуза): $c = \frac{b-a}{\cos(\alpha)}$.

а) Найти большую боковую сторону, если $a = 4 \text{ см}$, $b = 7 \text{ см}$, $\alpha = 60°$.
Используем формулу для нахождения большей боковой стороны:
$c = \frac{b-a}{\cos(\alpha)} = \frac{7-4}{\cos(60°)} = \frac{3}{1/2} = 6 \text{ см}$.
Ответ: 6 см.

б) Найти меньшую боковую сторону, если $a = 10 \text{ см}$, $b = 15 \text{ см}$, $\alpha = 45°$.
Используем формулу для нахождения меньшей боковой стороны (высоты):
$h = (b-a) \cdot \tan(\alpha) = (15-10) \cdot \tan(45°) = 5 \cdot 1 = 5 \text{ см}$.
Ответ: 5 см.