Страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

3 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый n-угольник, где $ n $ — количество вершин (и сторон), $ n \ge 3 $. Обозначим его внутренние углы как $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n $, а соответствующие им внешние углы (взятые по одному при каждой вершине) — как $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n $.

Внешний угол при любой вершине многоугольника по определению является смежным с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов всегда равна $ 180^\circ $. Следовательно, для каждой $ i $-ой вершины (где $ i $ изменяется от 1 до $ n $) справедливо равенство:

$ \alpha_i + \beta_i = 180^\circ $

Из этого равенства выразим величину внешнего угла через внутренний:

$ \beta_i = 180^\circ - \alpha_i $

Чтобы найти сумму всех внешних углов $ S_{внешн} $, просуммируем все $ \beta_i $:

$ S_{внешн} = \sum_{i=1}^{n} \beta_i = \sum_{i=1}^{n} (180^\circ - \alpha_i) $

Используя свойства суммы, разобьем ее на две части:

$ S_{внешн} = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i $

Первая сумма, $ \sum_{i=1}^{n} 180^\circ $, представляет собой $ n $ слагаемых, равных $ 180^\circ $, и равна $ n \times 180^\circ $.

Вторая сумма, $ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i $, является суммой всех внутренних углов выпуклого n-угольника. Эта сумма, $ S_{внутр} $, вычисляется по известной теореме:

$ S_{внутр} = (n - 2) \times 180^\circ $

Теперь подставим оба результата в выражение для $ S_{внешн} $:

$ S_{внешн} = n \times 180^\circ - (n - 2) \times 180^\circ $

Вынесем за скобки общий множитель $ 180^\circ $:

$ S_{внешн} = (n - (n - 2)) \times 180^\circ $

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$ S_{внешн} = (n - n + 2) \times 180^\circ $

$ S_{внешн} = 2 \times 180^\circ $

$ S_{внешн} = 360^\circ $

Таким образом, мы показали, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от количества его сторон и всегда составляет $ 360^\circ $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $ 360^\circ $.

4 Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.

Для решения задачи начертим произвольный выпуклый четырёхугольник, обозначим его вершины буквами $A$, $B$, $C$ и $D$.

На рисунке выше представлен четырёхугольник $ABCD$.

Диагонали

Диагональ четырёхугольника — это отрезок, который соединяет две его несоседние (противоположные) вершины. У любого четырёхугольника есть две диагонали. На нашем рисунке они показаны цветными пунктирными линиями. Одна диагональ соединяет вершины $A$ и $C$, другая — вершины $B$ и $D$.

Ответ: Диагонали четырёхугольника $ABCD$ — это отрезки $AC$ и $BD$.

Противоположные стороны

Противоположные стороны четырёхугольника — это две стороны, которые не имеют общей вершины. У выпуклого четырёхугольника есть две пары таких сторон. В четырёхугольнике $ABCD$ сторонами являются $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Сторона $AB$ не имеет общих вершин со стороной $CD$, значит они противоположные. Аналогично, сторона $BC$ противоположна стороне $DA$.

Ответ: Парами противоположных сторон в четырёхугольнике $ABCD$ являются $AB$ и $CD$, а также $BC$ и $DA$.

Противоположные вершины

Противоположные вершины четырёхугольника — это две вершины, которые не являются концами одной и той же стороны (не являются соседними). В четырёхугольнике $ABCD$ вершина $A$ соседствует с вершинами $B$ и $D$. Вершина $C$ не является соседней для $A$, следовательно, они противоположные. Аналогично, вершина $B$ противоположна вершине $D$.

Ответ: Парами противоположных вершин в четырёхугольнике $ABCD$ являются $A$ и $C$, а также $B$ и $D$.

5 Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?

Б

Сумму углов выпуклого четырёхугольника можно найти, используя общую формулу для суммы внутренних углов любого выпуклого n-угольника: $S = (n-2) \times 180^\circ$, где $n$ — количество углов многоугольника.

Для четырёхугольника количество углов $n=4$. Подставив это значение в формулу, мы получим:

$S = (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$

Этот результат можно также получить и другим, более наглядным способом. Если в любом выпуклом четырёхугольнике провести диагональ (отрезок, соединяющий две несоседние вершины), то он разобьется на два треугольника. Как известно, сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Сумма углов четырёхугольника будет равна сумме углов двух составляющих его треугольников. Следовательно, она равна $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: $360^\circ$

6 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником?

Дайте определение параллелограмма.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны.
Это означает, что если мы имеем четырёхугольник $ABCD$, то он является параллелограммом, если сторона $AB$ параллельна стороне $CD$, а сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Математически это записывается так: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником?

Да, любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. Чтобы это доказать, необходимо сначала дать определение выпуклого четырёхугольника и проверить, соответствует ли ему параллелограмм.

Четырёхугольник (и в общем случае любой многоугольник) называется выпуклым, если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

1. Он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.
2. Отрезок, соединяющий любые две точки, принадлежащие многоугольнику, полностью принадлежит этому многоугольнику.
3. Все его внутренние углы меньше $180^\circ$ (или $ \pi $ радиан).

Проверим, удовлетворяет ли параллелограмм этим условиям.

Проверка по первому условию:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведём прямую через любую из его сторон, например, через сторону $AB$. Так как противолежащие стороны параллельны, то вершины $C$ и $D$ (а значит, и вся сторона $CD$) будут лежать в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Это же верно для любой другой стороны. Следовательно, по этому определению параллелограмм является выпуклым.

Проверка по третьему условию:
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Например, для соседних углов $\angle A$ и $\angle B$ выполняется равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Поскольку в невырожденном параллелограмме все углы строго больше $0^\circ$, то из этого следует, что и $\angle A < 180^\circ$, и $\angle B < 180^\circ$. Так как противолежащие углы в параллелограмме равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$), то все его четыре угла меньше $180^\circ$. Это также подтверждает, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Ответ: Да, является.

7 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Для доказательства утверждения рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению, у параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны, то есть $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Проведем диагональ $AC$, которая делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Докажем, что эти треугольники равны. Для этого рассмотрим их элементы:

1. Угол $\angle 1$ ($\angle BCA$) равен углу $\angle 2$ ($\angle DAC$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.
2. Угол $\angle 3$ ($\angle BAC$) равен углу $\angle 4$ ($\angle DCA$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны, то их соответствующие стороны равны. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

• Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle 1$, а сторона $CD$ — напротив равного ему угла $\angle 2$. Следовательно, $AB = CD$.
• Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle 3$, а сторона $AD$ — напротив равного ему угла $\angle 4$. Следовательно, $BC = AD$.

Мы доказали, что в параллелограмме противоположные стороны попарно равны.

Ответ: Противоположные стороны параллелограмма равны, что и требовалось доказать.

Из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ следует также равенство их соответствующих углов.

• Угол $\angle B$ в $\triangle ABC$ равен углу $\angle D$ в $\triangle CDA$, так как они лежат против общей стороны $AC$.
• Угол $\angle A$ параллелограмма состоит из суммы углов $\angle 2$ и $\angle 3$. Угол $\angle C$ состоит из суммы углов $\angle 1$ и $\angle 4$. Так как мы уже установили, что $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$, то $\angle A = \angle 3 + \angle 2 = \angle 4 + \angle 1 = \angle C$.

Мы доказали, что в параллелограмме противоположные углы попарно равны.

Ответ: Противоположные углы параллелограмма равны, что и требовалось доказать.

8 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что точка пересечения делит диагонали пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Для доказательства рассмотрим треугольники, образованные пересечением диагоналей, например, $\Delta AOD$ и $\Delta COB$.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, сторона $AD$ равна стороне $BC$ ($AD = BC$), и прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$).

2. Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, то при их пересечении секущей $AC$ образуются внутренние накрест лежащие углы, которые равны между собой. Таким образом, $\angle OAD = \angle OCB$.

3. Аналогично, при пересечении тех же параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $BD$ образуются равные внутренние накрест лежащие углы: $\angle ODA = \angle OBC$.

4. Теперь мы можем сравнить треугольники $\Delta AOD$ и $\Delta COB$. В них:

• сторона $AD$ равна стороне $BC$ (из свойства параллелограмма),

• угол $\angle OAD$ равен углу $\angle OCB$ (как накрест лежащие),

• угол $\angle ODA$ равен углу $\angle OBC$ (как накрест лежащие).

Следовательно, треугольник $\Delta AOD$ равен треугольнику $\Delta COB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих (соответственных) сторон. Значит, сторона $AO$ треугольника $\Delta AOD$ равна стороне $CO$ треугольника $\Delta COB$, и сторона $DO$ равна стороне $BO$.

Таким образом, $AO = CO$ и $BO = DO$, что и означает, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

9 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Существует несколько признаков, по которым можно определить, является ли четырёхугольник параллелограммом. Сформулируем и докажем основные из них.

Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Пусть в нём сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ и равна ей по длине, то есть $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Проведём диагональ $AC$, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

В этих треугольниках сторона $AC$ является общей. Стороны $AB$ и $CD$ равны по условию ($AB = CD$). Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DAC$.

Эти углы являются накрест лежащими для прямых $BC$ и $AD$ при секущей $AC$. Поскольку они равны, прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Таким образом, в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ по условию и $BC \parallel AD$ по доказанному). По определению, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.

Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведём диагональ $AC$, которая разделит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Сравним эти треугольники. Стороны $AB$ и $CD$ равны по условию, стороны $BC$ и $AD$ также равны по условию, а сторона $AC$ — общая. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. В частности, $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$. Также из равенства треугольников следует, что $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, следовательно $BC \parallel AD$.

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. В них стороны $AO$ и $OC$ равны по условию, стороны $BO$ и $OD$ также равны по условию. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$.

Углы $\angle OAB$ (или $\angle CAB$) и $\angle OCD$ (или $\angle ACD$) являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Таким образом, в четырёхугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. По первому признаку, который был доказан выше, четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.

10 Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?

Какой четырёхугольник называется трапецией?

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны лежат на прямых, которые не пересекаются на плоскости.
Например, если в четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны (что записывается как $AD \parallel BC$), а стороны $AB$ и $CD$ не являются параллельными, то четырёхугольник $ABCD$ является трапецией.

Ответ: Трапеция — это четырёхугольник, у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельна.

Как называются стороны трапеции?

Стороны трапеции носят специальные названия в зависимости от их взаимного расположения:
- Две параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Две непараллельные стороны называются боковыми сторонами трапеции.
В трапеции $ABCD$, где $AD \parallel BC$, стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями, а стороны $AB$ и $CD$ — боковыми сторонами.

Ответ: Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие, непараллельные стороны, — боковыми сторонами.

11 Какая трапеция называется равнобедренной; прямоугольной?

равнобедренной

Равнобедренной (или равнобокой) трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Название дано по аналогии с равнобедренным треугольником.
Такая трапеция обладает рядом отличительных свойств:

• Углы при любом из оснований равны. Если в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, то углы при основании $AD$ равны ($\angle DAB = \angle CDA$), и углы при основании $BC$ тоже равны ($\angle ABC = \angle BCD$).
• Диагонали равнобедренной трапеции равны между собой ($AC = BD$).
• Высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают от трапеции два равных прямоугольных треугольника.
• Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Ответ: Равнобедренной называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

прямоугольной

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой есть прямой угол.
Ключевые особенности прямоугольной трапеции:

• У такой трапеции всегда два прямых угла. Они прилегают к одной из боковых сторон. Если одна боковая сторона перпендикулярна одному из оснований, то, поскольку основания параллельны, она будет перпендикулярна и второму основанию.
• Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой трапеции. Например, в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$, если сторона $AB$ перпендикулярна $AD$ ($\angle A = 90^\circ$), то она перпендикулярна и $BC$ ($\angle B = 90^\circ$), а ее длина равна высоте трапеции.

Ответ: Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой.

12 Какой четырёхугольник называется прямоугольником?

Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все внутренние углы являются прямыми. Это означает, что каждый угол такой фигуры равен $90^\circ$.

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому он обладает всеми его свойствами. Например, его противоположные стороны попарно равны и параллельны, а диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Помимо общих свойств параллелограмма, у прямоугольника есть и свои уникальные характеристики. Главное отличительное свойство — это равенство его диагоналей. На основе этого свойства можно дать другое, эквивалентное определение: прямоугольник — это параллелограмм, у которого диагонали равны.

Ответ: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

13 Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Проведём в нём диагонали $AC$ и $BD$. Нам необходимо доказать, что длины этих диагоналей равны, то есть $AC = BD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются при проведении диагоналей: $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

Сравним эти треугольники, чтобы доказать их равенство:

1. Сторона $AB$ равна стороне $DC$ ($AB = DC$), так как они являются противолежащими сторонами прямоугольника, а у прямоугольника противолежащие стороны равны.
2. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle CDA$ ($\angle BAD = \angle CDA = 90^\circ$), так как все углы в прямоугольнике по определению прямые.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Также, поскольку эти треугольники прямоугольные, можно сказать, что они равны по двум катетам.

Поскольку треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны, то равны и все их соответствующие элементы. Сторона $BD$ в треугольнике $\triangle ABD$ является гипотенузой и лежит напротив прямого угла $\angle A$. Сторона $AC$ в треугольнике $\triangle DCA$ является гипотенузой и лежит напротив прямого угла $\angle D$. Следовательно, эти стороны являются соответствующими.

Отсюда следует, что $BD = AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Диагонали прямоугольника равны.

14 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и признаками равенства треугольников.

Дано:

ABCD — параллелограмм.

AC и BD — диагонали.

$ AC = BD $.

Доказать:

ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, образованных сторонами и диагоналями параллелограмма: $ \triangle ABD $ и $ \triangle DCA $.

В этих треугольниках:

1. $ AB = CD $ (как противоположные стороны параллелограмма).
2. $ AD $ — общая сторона.
3. $ BD = AC $ (по условию задачи).

Следовательно, треугольник $ \triangle ABD $ равен треугольнику $ \triangle DCA $ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ \angle BAD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ лежит напротив стороны BD. Угол $ \angle CDA $ в треугольнике $ \triangle DCA $ лежит напротив стороны AC. Так как стороны $ BD $ и $ AC $ равны, то и противолежащие им углы равны:

$ \angle BAD = \angle CDA $

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $ 180^\circ $. Углы $ \angle BAD $ и $ \angle CDA $ прилежат к стороне AD, следовательно:

$ \angle BAD + \angle CDA = 180^\circ $

Поскольку мы доказали, что эти углы равны, мы можем заменить $ \angle CDA $ на $ \angle BAD $:

$ \angle BAD + \angle BAD = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle BAD = 180^\circ $

$ \angle BAD = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, по определению является прямоугольником. Так как мы нашли, что угол $ \angle BAD = 90^\circ $, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

15 Какой четырёхугольник называется ромбом?

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Это выпуклый четырёхугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Для ромба ABCD со стороной a справедливо равенство: $AB = BC = CD = DA = a$.

Ромб обладает как всеми свойствами параллелограмма, так и своими уникальными свойствами:

Свойства, общие с параллелограммом:
• Противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel DA$).
• Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$ (например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$).

Уникальные свойства ромба:
• Диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$).
• Диагонали являются биссектрисами его углов (например, диагональ $AC$ делит пополам углы $\angle A$ и $\angle C$).

Частным случаем ромба является квадрат — это ромб, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

Ответ: Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

16 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Для доказательства этих свойств воспользуемся определением ромба и свойствами равнобедренного треугольника.

Пусть нам дан ромб ABCD. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Доказательство того, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как по определению ромба $AB = AD$, то треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием BD.

Ромб является частным случаем параллелограмма, а по свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка O является серединой диагонали BD.

Таким образом, отрезок AO является медианой треугольника $\triangle ABD$, проведенной к его основанию.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $AO \perp BD$.

Поскольку отрезок AO является частью диагонали AC, то и вся диагональ $AC \perp BD$. Первое утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство того, что диагонали ромба делят его углы пополам

Воспользуемся теми же рассуждениями.

В равнобедренном треугольнике $\triangle ABD$ медиана AO, проведенная к основанию BD, является также и биссектрисой угла $\angle BAD$.

Следовательно, $\angle BAO = \angle DAO$, а это означает, что диагональ AC делит угол $\angle A$ пополам.

Аналогично, если рассмотреть равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ (стороны $AB=BC$), то отрезок BO будет являться в нем медианой, проведенной к основанию AC. Следовательно, BO является и биссектрисой угла $\angle ABC$, а значит, диагональ BD делит угол $\angle B$ пополам.

Таким же образом можно доказать, что диагональ AC делит пополам угол $\angle C$ (рассмотрев $\triangle BCD$) и что диагональ BD делит пополам угол $\angle D$ (рассмотрев $\triangle CDA$). Второе утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что диагонали ромба делят его углы пополам.

17 Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата.

Какой четырёхугольник называется квадратом?

Квадрат — это правильный четырёхугольник, то есть выпуклый четырёхугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой. Так как сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$, то каждый угол квадрата равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$.

Квадрат можно также определить через другие геометрические фигуры:

• Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (или у которого смежные стороны равны).
• Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Таким образом, квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и наследует все их свойства.

Ответ: Квадратом называется правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы равны $90^\circ$.

Перечислите основные свойства квадрата.

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Вот основные из них:

1. Стороны и углы:
   • Все четыре стороны равны по длине.
   • Все четыре угла прямые (равны $90^\circ$).
   • Противоположные стороны попарно параллельны.
2. Диагонали:
   • Диагонали квадрата равны между собой.
   • Диагонали взаимно перпендикулярны.
   • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
   • Диагонали являются биссектрисами углов квадрата (делят каждый угол на два угла по $45^\circ$).
3. Симметрия:
   • Квадрат имеет четыре оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон, и две — по диагоналям.
   • Обладает вращательной симметрией 4-го порядка (поворот на $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ вокруг центра оставляет фигуру неизменной).
4. Окружности:
   • В квадрат можно вписать окружность. Её центр лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус $r$ равен половине стороны: $r = \frac{a}{2}$.
   • Около квадрата можно описать окружность. Её центр также находится в точке пересечения диагоналей, а радиус $R$ равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2}$.
5. Формулы (где $a$ — сторона, $d$ — диагональ):
   • Периметр: $P = 4a$.
   • Площадь: $S = a^2$ или $S = \frac{d^2}{2}$.
   • Длина диагонали: $d = a\sqrt{2}$.

Ответ: Основные свойства квадрата: все стороны равны; все углы прямые ($90^\circ$); диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов; в квадрат можно вписать и около него можно описать окружность.

18 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квадрата.

Квадрат — это четырехугольник, который одновременно является прямоугольником (все углы прямые) и ромбом (все стороны равны). Признаки квадрата — это теоремы, которые устанавливают достаточные условия для того, чтобы четырехугольник был квадратом. Ниже сформулированы и доказаны основные признаки квадрата.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $AB = BC$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. У параллелограмма противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$ и $BC = AD$.
По условию дано, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.
Из этих равенств следует, что все стороны четырехугольника равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.
Таким образом, четырехугольник $ABCD$ имеет все равные стороны, значит, он является ромбом. Поскольку $ABCD$ является и прямоугольником (по условию), и ромбом (по доказанному), он является квадратом по определению.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямоугольник с равными смежными сторонами имеет все стороны равными, а так как все его углы прямые, он является квадратом.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $AC \perp BD$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
Прямоугольник является параллелограммом. По известному признаку ромба, если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Таким образом, прямоугольник $ABCD$ — это ромб.
Поскольку $ABCD$ является одновременно и прямоугольником (по условию), и ромбом (по доказанному), он является квадратом по определению.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями является также и ромбом, следовательно, это квадрат.

Дано: $ABCD$ — ромб, $\angle A = 90^\circ$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
Ромб является параллелограммом. У параллелограмма противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
Так как $\angle A = 90^\circ$, то противолежащий ему угол $\angle C$ также равен $90^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к стороне $AB$, это $\angle A$ и $\angle B$, и она равна $180^\circ$. Отсюда $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Противолежащий углу $\angle B$ угол $\angle D$ также равен $90^\circ$.
Таким образом, все углы ромба $ABCD$ прямые. Четырехугольник, у которого все стороны равны (так как это ромб) и все углы прямые, является квадратом.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Ромб с одним прямым углом имеет все прямые углы, а так как у него по определению все стороны равны, он является квадратом.

Дано: $ABCD$ — ромб, $AC = BD$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
Ромб является параллелограммом. По известному признаку прямоугольника, если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Таким образом, ромб $ABCD$ является также и прямоугольником.
Поскольку $ABCD$ является одновременно и ромбом (по условию), и прямоугольником (по доказанному), он является квадратом по определению.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Ромб с равными диагоналями является также и прямоугольником, следовательно, это квадрат.

19 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках ромба.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Признаки ромба — это свойства, по которым можно установить, что данный параллелограмм является ромбом. Сформулируем и докажем основные из них.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AC$ и $BD$ — его диагонали, $AC \perp BD$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (угол $\angle AOB = 90^\circ$ по условию). По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

1. $AO = OC$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
2. $BO$ — общая сторона.
3. $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$ (так как $AC \perp BD$).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $CB = AD$.

Сопоставляя все равенства, получаем: $AB = CB = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Признак 2. Если в параллелограмме диагональ является биссектрисой его углов, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, диагональ $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD$ (и, следовательно, угла $\angle BCD$).
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Это означает, что $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из условий $\angle BAC = \angle CAD$ (по условию) и $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие) следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AB = BC$.

Так как в параллелограмме $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, а противоположные стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то все его стороны равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Следовательно, параллелограмм $ABCD$ является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм, в котором диагональ является биссектрисой углов, является ромбом.

Признак 3. Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AB = BC$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

По определению параллелограмма, его противоположные стороны равны. Таким образом, для параллелограмма $ABCD$ выполняются равенства:

• $AB = CD$
• $BC = AD$

По условию, смежные стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.

Объединяя эти равенства, получаем, что все стороны равны: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с двумя равными смежными сторонами является ромбом.

20 Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

Две точки, назовем их A и A?, называются симметричными относительно данной точки O, если точка O является серединой отрезка, соединяющего эти две точки (отрезка AA?).

Это определение означает выполнение двух условий:

1. Точки A, O и A? лежат на одной прямой.
2. Расстояния от точек A и A? до точки O равны, то есть длины отрезков AO и OA? равны.

Математически это можно выразить так: точка A? симметрична точке A относительно центра O, если выполняется равенство $AO = OA?$ и точки A, O, A? лежат на одной прямой. Точка O в этом случае называется центром симметрии.

Ответ: Две точки называются симметричными относительно данной точки, если эта данная точка является серединой отрезка, соединяющего эти две точки.

21 Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

Фигура называется симметричной относительно данной точки, если для каждой точки этой фигуры точка, симметричная ей относительно данной точки (центра симметрии), также принадлежит этой фигуре.

Более формально, пусть есть фигура $F$ и точка $O$, называемая центром симметрии. Фигура $F$ симметрична относительно точки $O$, если для любой точки $A$, принадлежащей фигуре $F$ (обозначается как $A \in F$), существует точка $A'$, которая также принадлежит фигуре $F$ ($A' \in F$), такая что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Это условие означает, что преобразование центральной симметрии с центром в точке $O$ переводит фигуру $F$ в саму себя.

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией:

• Окружность (центр симметрии — центр окружности).
• Параллелограмм (центр симметрии — точка пересечения его диагоналей).
• Прямая (любая точка прямой является её центром симметрии).
• Отрезок (центр симметрии — его середина).

Ответ: Фигура называется симметричной относительно данной точки, если для каждой точки этой фигуры точка, симметричная ей относительно данной точки, также принадлежит этой фигуре. Данная точка называется центром симметрии фигуры.

22 Приведите примеры фигур, обладающих:

а) осевой симметрией;

б) центральной симметрией;

в) и осевой, и центральной симметрией.

а) осевой симметрией

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) — это свойство геометрической фигуры, при котором существует такая прямая (называемая осью симметрии), что для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно этой оси также принадлежит данной фигуре. Проще говоря, если фигуру согнуть по оси симметрии, то ее половинки полностью совпадут.

Примеры фигур, обладающих осевой симметрией:

• Равнобедренный треугольник. Он имеет одну ось симметрии — прямую, на которой лежит высота, проведенная к основанию.
• Равнобокая трапеция. Ее осью симметрии является прямая, проходящая через середины оснований.
• Угол. Осью симметрии угла является прямая, содержащая его биссектрису.
• Дельтоид (фигура, похожая на воздушного змея). Одна из его диагоналей является осью симметрии.

Многие из этих фигур (если они не обладают дополнительными свойствами, как, например, равносторонний треугольник) не имеют центральной симметрии.

Ответ: Равнобедренный треугольник, равнобокая трапеция, угол.

б) центральной симметрией

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это свойство фигуры, при котором существует такая точка (называемая центром симметрии), что для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно центра, также принадлежит этой фигуре. Это то же самое, что и поворот фигуры на $180^\circ$ вокруг ее центра симметрии, при котором фигура переходит сама в себя.

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией:

• Параллелограмм. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей. При этом обычный параллелограмм (не прямоугольник и не ромб) не имеет осей симметрии, что делает его отличным примером фигуры, обладающей только центральной симметрией.
• Фигура в виде латинских букв "Z" или "S". Такие фигуры имеют центр симметрии в своей геометрической середине, но не имеют осей симметрии.

Ответ: Параллелограмм, фигура в виде буквы "Z".

в) и осевой, и центральной симметрией

Фигуры этой категории обладают одновременно и осями симметрии, и центром симметрии. Часто, если фигура имеет хотя бы две перпендикулярные оси симметрии, точка их пересечения является центром симметрии.

Примеры таких фигур:

• Окружность (и круг). Центр окружности является ее центром симметрии. Любая прямая, проходящая через центр (то есть любой диаметр), является ее осью симметрии, поэтому у окружности их бесконечно много.
• Прямоугольник. Центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей. Он имеет две оси симметрии — прямые, проходящие через середины противоположных сторон.
• Ромб. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей. Оси симметрии — это прямые, на которых лежат его диагонали.
• Квадрат. Являясь одновременно прямоугольником и ромбом, он имеет центр симметрии в точке пересечения диагоналей и четыре оси симметрии (две проходят через середины сторон, две — по диагоналям).
• Отрезок. Его середина является центром симметрии, а прямая, на которой он лежит, и его серединный перпендикуляр — осями симметрии.

Ответ: Окружность, прямоугольник, ромб, квадрат, отрезок.